结构力学,天津城市建设学院力学教研室,STRUCTURE MECHANICS,结构力学,结构力学成绩评定方法 1、 “结构力学”为考试课程。期末考试成绩占75，平时成绩占25。 2、平时成绩由以下四部分组成： （1）作业及平时测验占10； （2）课堂笔记占5； （3）回答问题占5； （4）出勤、着装及遵守课堂记律等占5。,*课程建设背景（1987年：4机时）,*从一个简单例题谈起,12-1 概 述,第12章 结构矩阵分析,*结构矩阵分析方法,*结构矩阵分析基本思路,*有限单元法结构计算器简介,*矩阵力法与矩阵位移法简介,结构矩阵分析方法,在传统结构力学中引进有限单元的基本概念，数学推导采用矩阵方法，实际计算采用电子计算机。有限元、矩阵代数、计算机三者结合，使力学学科发生了革命性的变化。,杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元，以结构的结点位移作为基本未知量，导入矩阵运算，用计算机求解的方法。,返 回,进行力学分析的方法有很多种，归结起来可以分为两类，即解析法和数值法。,结构矩阵分析基本思路,简单概括为：“先分再合，拆了再搭”,根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构，进行整体分析建立结点力与结点位移之间的关系（结构刚度方程） 。,返 回,将结构离散成有限的单元，进行单元分析建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。,解算刚度方程，完成结构计算。,试用有限单元法计算图示结构（分析解题思路）,确定结点、划分单元、整理基本数据后，由程序完成计算。,返 回,矩阵力法（柔度法）：,矩阵力法与矩阵位移法简介,矩阵位移法（刚度法）：,结构的离散化,*单元划分的原则,*单元划分举例,杆系结构,实体结构,计算精度,计算机容量,单元分析,*杆件结构,杆端力与杆端位移之间的关系,整体分析,*杆件结构,杆件结构结点力与结点位移之间的关系（图）,整体分析的几个环节,2、将单元结点荷载集合成整个结构的结点荷载,1、将单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵,3、引入结构的位移边界条件,结点位移,4、确定整个结构的平衡方程：,杆端位移,杆端力,5、求解杆端力：,一、矩阵位移法的解题思路,12-2 矩阵位移法的概念及连续梁的计算,“先分再合，拆了再搭”,1、单元分析（物理条件）,单元1,单元2,写成矩阵形式,单元1,单元2,2、整体分析,位移条件,平衡条件,位移方程,平衡方程,物理方程,将位移方程代入物理方程后再代入平衡方程，可得：,将上方程组写成矩阵的形式,简写为：,称为“整个结构的刚度方程”。,结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标， “对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。,二、用有限单元法分析连续梁应注意的问题,1、用直接刚度法组集刚度矩阵,单元刚度矩阵,整体刚度矩阵,练习：试写出图示连续梁整体刚度矩阵。,多跨连续梁刚度矩阵和刚度方程,2、支承条件的引入,（1）后处理法概念：,（2）支承条件的引入 “主1副零”法,原刚度方程：,引入支承条件后,为便于编程，保持原矩阵行列不变,先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程的方法。,3、非结点荷载的处理,增加约束杆端固端弯矩为,整个结构的结点约束力矩,去掉附加约束：在各结点施加等效结点荷载Pe，其大小与约束力矩相同，但方向相反,叠加图（b）和图（c）两种情况，即得图（a）的原始情况,三、用有限单元法计算例12-1（P18）,1、确定结点、划分单元、建立坐标系；,3、求单元刚度矩阵：,4、求整体刚度矩阵：,2、求（等效）结点荷载矩阵：,5、建立整个结构的刚度方程：,6、引入支承条件，修改刚度方程：,7、解方程，求结点位移：,8、绘内力图。,12-3 局部坐标系中的单元分析,一、一般单元,写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义:,进一步:,单元刚度矩阵的特点: (1)为对称矩阵; (2)为奇异矩阵; (3)具有分快性质。,二、梁单元,写成矩阵的形式,分析各元素的物理意义:,进一步:,梁单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第1、4行和第1、4列得到； (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。,三、轴力（桁架）单元,写成矩阵的形式：,为了便于坐标变换，轴力单元一般采用如下形式：,轴力单元刚度矩阵的特点: (1)梁单元刚度矩阵可由一般单元刚度矩阵划掉第2、3、5、6行和第2、3、5、6列得到； (2)为对称矩阵;为奇异矩阵;具有分快性质。,写成矩阵的形式：,12.4 单元刚度矩阵的坐标变换,一、整体坐标系与局部坐标系,1、两种坐标系建立的必要性 连续梁不必进行坐标变换，桁架、刚架必须进行坐标变换。,2、整体坐标系 各个单元共同参考的坐标系（结构坐标系）。,3、局部坐标系： 专属某一个单元的坐标系。（单元坐标系）。,二、桁架单元的坐标变换,由图可确定如下关系式：,将以上方程组写成矩阵的形式：,进一步：,称为“轴力单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。,正交矩阵的特点： （1）任一行或任一列元素的平方和等于1； （2）不同行或列对应元素乘积之和等于零。,同理，可用整体坐标系下的杆端位移表示局部坐标系下的杆端位移：,即：,三、刚架单元的坐标变换,由图可确定如下关系式：,将以上方程组写成矩阵的形式：,进一步：,称为“刚架单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。,四、整体坐标系下的单元刚度矩阵,1、整体坐标系下的单元刚度方程（引导学生推导）,两种坐标系下的杆端力关系：,两种坐标系下的杆端位移关系：,局部坐标系下的单元刚度方程：,将式（1）、（2）代入式（3）并整理，得：,令：,则：,2、整体坐标系下桁架单元刚度矩阵（由学生推导）,3、整体坐标系下刚架单元刚度矩阵：,由上式可求出整体坐标系下刚架单元刚度矩阵，如第25页式（12-47）、式（12-48）所示。,先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程，进而求解结点未知位移的方法。,12-5 结点、单元及未知位移分量编码,一、一般杆件结构的后处理法的概念,1、一个具体的例子,整个结构的刚度方程：,2、一般杆件结构的后处理法,刚度方程：,于是：,当无支座移动时：,二、先处理法,1、定义：首先考虑支承情况，仅对未知的自由结点位移分量编码，直接建立“修正的整体刚度方程”的方法。,2、有关先处理法的基本概念,（1）位移分量编码,a）仅对未知的独立位移分量编码,b）支座处位移分量为零时，则位移分量编码为零。,表1 支座结点未知位移分量信息,1,1,2,3,自由端,1,0,1,0,2,1,1,0,0,1,滑动支座,1,0,1,2,2,1,1,0,2,1,滚轴支座,1,0,0,1,饺支座,1,0,0,0,固定支座,结点编码,未知位移分量编码 （u、v、）,简 图,支座名称,（2）单元两端结点号数组（二维数组）,（3）结点位移分量的位移号数组,（4）单元定位数组（单元始端及末端的位移号组成的向量）,（4）练习：试确定图示结构坐标系，并对结点、单元、位移分量进行编码，同时写出第三单元结点号数组、第三结点位移编码、第三单元定位数组（考虑轴向变形、略去轴向变形两种情况）。,12-6 平面杆件结构的整体刚度矩阵,在“先处理法”中，整个结构的刚度方程为：,等效结点荷载计算：,一、非结点荷载的处理（连续梁）,12.7 非结点荷载处理,二、综合结点荷载定义,三、等效结点荷载的确定,1、单元等效结点荷载,2、整个结构的等效结点荷载 将单元等效结点荷载按“单元定位编码”累加到整个结构的等效结点荷载中去：,将直接作用在结点上的荷载与整个结构的等效结点荷载相加，可得综合结点荷载：,综合结点荷载作用下的支座反力、杆端位移即为原结构的支座反力、杆端位移；而综合结点荷载作用下的杆端力与固端力相加为原结构的杆端力。,四、综合结点荷载的确定,例题： 求图示结构综合结点荷载。,解：,4、结构等效结点荷载,5、直接作用在结点上的荷载,6、综合结点荷载,练习： 求图示结构综合结点荷载。,12.8 平面杆件结构分析举例,一、解题步骤,（1）整理原始数据，确定结点、划分单元、建立坐标系并对单元、结点、及结点位移分量进行编号。,（2）计算局部坐标系中单元刚度矩阵。,（3）计算整体坐标系中单元刚度矩阵。,（4）建立整个结构的刚度矩阵。,（5）求综合结点荷载。,（6）建立整个结构的刚度方程，进而求解自由结点位移。,（7）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。,二、平面杆件结构分析举例（P34、p38）,（一）程序编制说明,一、连续梁静力分析源程序,12.9 连续梁及平面刚架静力分析源程序,1、本程序用来计算连续梁在荷载作用下的转角及结点弯矩。 2、非结点荷载作用下的固端弯矩由手算完成。 3、采用“后处理法”：先建立K，后引入支承条件。 4、采用“高斯顺序序消取法”解刚度方程。,（二）计算模型及计算方法,1、计算模型,2、计算方法,（1）结点荷载,（2）整体刚度矩阵的组集,（3）支承条件的引入,（4）高斯消去法解线性方程组,（4）高斯消去法解线性方程组,向前消元,第一轮消元：利用式（1）中的第一个方程消去其余方程中的x1,（1）,式中：,（2）,（2）,第二轮消元：利用式（2）中的第二个方程消去其余方程中的x2,式中：,（3）,.,经（n-1)轮消元后，方程组变为,整个消元过程可表示为：,（4）,经（n-1)轮消元后，方程组变为,（4）,向后叠代,由式（4）的最后一个方程可以得到Xn ：,将Xn 代入式（4）的（n-1)方程可以得到Xn-1 ：,将Xn 、Xn-1代入式（4）的（n-2)方程可以得到Xn-2：,依次类推，由第i个方程可以得到Xi ：,整个回代过程可表示为：,（5）计算单元的杆端力,二、 连续梁的框图与程序,（一）程序标识符的说明（p42),（二）框图,（三）连续梁静力分析源程序 （FORTRAN）,