学 海 无 涯 2017 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.）,2,1. 已知复数 z ,1 i,，则,A.z 的模为 2 C.z 的实部为 1,B.z 的虚部为-1 D.z 的共轭复数为 1+i,2. 已知集合 A 0, 2, 4,6, B nN | 2n 8 ，则集合 A B 的子集个数为 A.8B.7C.6D.4 3. 对于平面 和不重合的两条直线 m、n，下列选项中正确的是 A.如果m , n ，m、n 共面，那么m n 如果m ，n 与 相交，那么 m、n 是异面直线 如果m , n ，m、n 是异面直线，那么n 如果m , n m ，那么n 4. 已知随机变量 服从正态分布 N 2, 2 , P 4 0.84 ，则 P 0 A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84,5. 在区间,2, 2 中随机取一个实数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 x 32 y2 1 相交发生,B. 1 4,的概率为 A. 1 2 C. 1 6,D. 1 8,1,学 海 无 涯 6. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松 日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a、b 分别为 5、2，则输出的 n=,A.2 C.4,B.3 D.5,7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,A.10 C.40,B.20 D.60,3,8. 已知sin 1 ，则sin 2 , 3 6,A. 7 9,B. 7 9,C. 7 9,D. 2 9,2,学 海 无 涯, 0, x为无理数,9. 德国著名数学家狄克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f x 1，x为有理数，,提前为狄克雷函数，则关于函数 f x 有以下四个命题： f f x 1； 函数 f x 是偶函数； 对于任意一个非零有理数 T， f x T f x 对任意 x R 恒成立； 存在三个点 A x1 , f x1 , B x2 , f x2 ,C x3 , f x3 ，使得ABC 为等边三角形。其中真命 题的个数是 A.4B.3C.2D.1 10. “关于 x 的方程 x2 mx n 0 有两个正根”是“方程mx2 ny2 1 的曲线是椭圆”的,B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,11. 已知双曲线,A.充分不必要条件 C.充要条件 2,2,xy,a2b2, 1 a 0, b 0,12,的左、右焦点分别为 F、F ，焦距为2c c, 0 ，抛物,线 y2 2cx 的准线交双曲线左支于A，B 两点，且AOB 120 ，其中O 为原点，则双曲线 的离心率为,A.2,B.1 2,C.1 3,D.1 5, ,2,x,1 , 1 , e, e , , ,12. 已知函数 f x kx x , e, g x ，若 f x , g x 图像上分别存在点 M，N。,使得 M，N 关于直线 y=x 对称，则实数 k 的取值范围为,eee,e,A. 1 , eB. 2 , 2eC. 3 , 3eD. 2 , 2e ,2017 年哈尔滨高第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第卷（非选择题 ，共 90 分） 二、填空题（共 4 小题，每小分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上.）,x y 4,x 0,n,3,x ,13. 已知x，y 满足x y 0 ，若目标函数 z=x+2y 的最大值为n，则 x 2 展开式的常,数项为 14. 在 ABC 中， a ， b ， c 分 别 是 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 已 知 c=2 ，若 sin2 A sin2 B sin Asin B sin2 C ，则 a+b 的取值范围是,学 海 无 涯,2, 1 x2 , x 1,1,15. 已知 f x ,x 1, x 1, 2, ,2,，则1f xdx ,2017,k,x 对所有实数 x 均成立，,16. 已知函数 f x 的定义域为R，若存在常数 k，使得 f x 则称函数 f x 为“期望函数”，给出下列函数：,x, f x x2 f x xex f x ,x, f x ,x2 x 1ex 1,三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 设 S 是数列a 的前 n 项和，已知 a 3, a 2S 3(n N* ) . nn1n1n （）求数列an 的通项公式； （）令bn 2n 1an ，求数列bn 的前 n 项和Tn . 18. （本小题满分 12 分） 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题。空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI） 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，050 为优；51100 为 良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；大于 300 为严重污 染。环保部门记录了 2017 年某月哈尔滨市 10 天的AQI 的茎叶图如下. （）利用该样本估计该地本月空气质量优良 AQI 100 的天数；（按这个月总共 30 天计算） （）现工作人员从这 10 天中空气质量为优良的日子里随机抽取 2 天进行某项研究，求抽 取的 2 天中至少有一天空气质量是优的概率； （）将频率现为概率，从本月中随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率 分布列和数学期望.,19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 底面为正方形，已知 PD 平面 ABCD，PD=AD，点 M 为线段 PA,4,学 海 无 涯 上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且 PM=DN. （）求证：直线 MN 平面PCD； （）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面AMN 所成的角的余弦值.,5,学 海 无 涯 20. （本小题满分 12 分） 已知圆 O： x2 y2 4 与 x 轴交于A、B 两点，点 M 为圆 O 上异于A、B 的任意一点，圆 O 在点 M 处的切线与圆 O 在点 A、B 处的切线分别交于点C、D，直线 AD 和 BC 交鱼点P， 设 P 点的轨迹为曲线E. （）求曲线E 的方程； （）由线 E 与 y 轴正半轴交点为 H，则曲线 E 是否存在直角顶点为 H 的内接等腰直角三 角形 RtGHK ，若存在，求出所有满足条件的 RtGHK 的两条直角边所在直线的方程，若 不存在，请说明理由.,6,学 海 无 涯 21. （本小题满分 12 分） 定义：设 f x 为（a，b）上的可导函数，若 f x 为增函数，则称 f x 为（a，b）上的凸 函数.,（）判断函数 y x3 与 y lg 1 是否为凸函数；,7,x （）设 f x 为（a，b）上的凸函数，求证：若1 2 n 1,1 0i 1, 2,n ， 则xi a,bi 1, 2, n ，恒有 1 f x1 2 f x2 +n f xn f 1x1 2 x2 ? n xn 成立；,（）设a,b,c 0, n N*,n b ，求证： an bn cn an5b3c2 bn5c3a2 cn5a3b2 .,学 海 无 涯,16：BDAABC,13.240,14 2, 4,2017 年哈尔滨高第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 712：BAADCB 15. 4 / 316. 2,17.解：（）当n 2 时，由an1 2Sn 3，得an 2sn1 3 ，（1 分）,m,a,n1nnn1nn1n,两式相减，得a a 2s 2s 2a ,a 3a , an1 3 （3 分）,1211,1,a,当 n=1 时， a 3, a 2s 3 2a 3 9 ，则 a2 3 .,数列an 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列（5 分）,n,a 3 3n1 3n （6 分）,n,nn,（）由（1）得b 2n 1 a, 2n a 3,2,3,234,n,n,n,n1,T 1 3 3 3 5 3 2n 1 3,3T 1 3 3 3 5 3 2n 1 3,23n,n,n1,n1,错位相减得,6 2n 2 3,2T 1 3 2 3 2 3 2 3 2n 1 3 ,n,n1,T n 1 3 3,(12分),18. 解：（）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2，空气质量的天数为 4，故 该样本中空气质量优良的频率为 6 3 ，从而估计该月空气质量优良的天数为30 3 18 1055 （2）3/5,5,（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为 3 , 的所有可能取值为 0，1，2，3.,2,254,8 125,5 5125,55125, 2 3,3 2 236, 3 ,F 0 , P 1 C1, P 2 C 2, 5 ,3 ,3 , , , ,5125, 3 327,P 3 , , ,故 的分布列为：,5,显然 B 3, 3 , E 3 3 1.8,5 ,19. 延 长AN ， 交CD于 点G ， 由 相 似 知,AN BN AM NGNDMP,8,，,学 海 无 涯 MN 平面PCD, PG 平面PCD，则直线MN 平面PCD ； （）由于 DA DC DP ，以 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设A（1，, 2 2, 22 ,0，0），则 B（1，1，0）C（0，1，0），P（0，0，1），M 1 , 0, 1 , N 1 , 1 , 0 则 PB 1,1, 1 ，,平面AMN 的法向量为m 1,1,1 .,3,则向量 PB 与m 的夹角为 ，则cos 1 ，则 PB 与平面AMN 夹角的余弦值为 2,3,2 .,00,20. （） 设 M x , y，则 M 处的切线为,00,x y y y 4,0,0,2, D 2,y,y,4 2x ,4 2x ,，则C ,0,0,，,4 y0, y 4 2x0 x 2,（6 分）则 P : , y 4 2x0 x 2,4 y0,4,x2,，则 E : y2 1 y 0 .,（ ） 由 于 直 线 GH 不 与 坐 标 轴 平 行 或 垂 直 ， 可 设 lGH : y kx 1 ，则,KH,1x2 4 y2 4 0,l: y x 1,ky kx 1,，得1 4k2 x2 8kx 0 ，则于 0 恒成立，设两个根为,1 2,8k,1 4k 2,8,k,k 2,x , x ，则GH 1 k 2 ，同理， HK ,1 4,2,由 GH=HK 知： k k2 4 4k2 1，得： （1）k0 时，得k 1k2 3k 1 0 得：k=1 或 k 3 5,2,（2）k0 时，得k 1k2 3k 1 0 得：k=-1 或 k 3 5,综上，共分三种情况 （1）两条直角边所在直线方程为： y x 1；,2,（2）两条直角边所在直线方程为： y ,5 3 x 1,2,（3）两条直角边所在直线方程为： y 5 3 x 1（12 分）,2,21. （）（1） 0 m 1 , 0,1 ,2 ,2,2,1 2m 1 1 2m 1 单调递增，,1 2m 单调递减，,2,9, 1 ,1 2m , 单调递增；,学 海 无 涯,2,1 1 2m ,（2） m 0, 0,