第十三章 13.3.1等腰三角形的性质知识点1：等腰三角形的定义(1)有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.(2)表示:如图所示,ABC是等腰三角形,其中AB、AC是腰,BC是底边,A是顶角,B、C是底角.关键提醒:(1)等腰三角形是特殊的三角形.(2)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(高)所在的直线是它的对称轴.知识点2：等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).如图所示:在应用三角形三线合一的性质时,用几何语言表述为:AB=AC,AD平分BAC,ADBC,BD=CD;AB=AC,ADBC,AD平分BAC,BD=CD;ADBC,AD平分BAC,AB=AC, BD=CD.关键提醒:(1)“等边对等角”在同一个三角形中才能应用,若相等的线段不是同一个三角形的两条边,则不能用该性质;(2)应用“三线合一”的性质的前提条件必须是等腰三角形,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合,若是一腰上的高与中线就不一定重合.考点1：在等腰三角形中求边的长度【例1】已知等腰三角形的底边长为10,周长不大于40,求腰长的取值范围.解:设腰长为x.等腰三角形两腰相等,2x+1040.x15.又底边长为10,两边之和要大于第三边,x+x10.x5.腰长的取值范围是5x15.点拨:由等腰三角形的周长不大于40和三角形的两边之和大于第三边可确定两个不等式,腰长的取值范围就是这两个不等式的公共解.考点2：利用等腰三角形的性质求角的度数【例2】如图,ABC中,AC=AD=BD,DAC=80.则B的度数是()A.40B.35C.25D.20答案:C点拨：法一:AC=AD,DAC=80,ADC=ACD=50.AD=BD,DAB=ABD,而ADC=DAB+ABD,ABD=25,故选C.法二:设ABD=x,AD=BD,DAB=ABD=x,ADC=DAB+ABD=2x.AC=AD,ACD=ADC=2x.DAC=80,2x+2x+80=180.解之得x=25,故选C.欲求三角形中的某个内角,可从已知条件出发,逐步求解,即由因得果;也可利用方程思想,设所求的角的度数为x,再执果索因.考点3：利用三角形的性质解决实际问题 【例2】如图是一钢架,AOB=10,为使钢架更加坚固,需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH添加的钢管长度都与OE相等,则最多可以添加这样的钢管根.答案:8点拨:因为OE=EF,所以EOF=EFO=10,FEG=EOF+EFO=20.又因为EF=FG,所以EGF=20.由三角形外角的性质,所得等腰三角形的底角每次增加10,依次类推.当添加到8根时,此等腰三角形的两底角为80,底角不能再增加,因此不能再添加同样长度的钢管组成等腰三角形.