三角函数与平面向量综合题的九种类型题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】已知A、B、C为三个锐角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)与向量(sinAcosA，1sinA)是共线向量.（）求角A；（）求函数y2sin2Bcos的最大值.题型二.三角函数与平面向量垂直的综合【例2】 已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值；（）求cos()的值题型三.三角函数与平面向量的模的综合【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例4】（2010年高考安徽卷）已知，为的最小正周期，求的值练习：设函数f(x).其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例5】 （浙江卷）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（）求的值；（）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例6】（山东卷）在中，角的对边分别为，（1）求； （2）若，且，求题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例7】（陕西卷），其中向量，且函数的图象经过点（）求实数的值； （）求函数的最小值及此时值的集合。题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例8】（湖北卷）将的图象向左平移/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例9】（湖北卷）设向量，函数.（）求函数的最大值与最小正周期；（）求使不等式成立的的取值集.【专题训练】一、选择题1已知(cos40，sin40)，(cos20，sin20)，则（ ）A1BCD2将函数y2sin2x的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若0，则ABC是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形4设(,sina)，(cosa,)，且，则锐角a为（ ）A30B45C60D755已知(sin，)，(1，)，其中(，)，则一定有（ ）ABC与夹角为45D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C点在函数ysinx的图象上,实数lABCD7设02时，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是（ ）ABC3D28若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，则与一定满足（ ）A与的夹角等于abBCD()()9已知向量(cos25,sin25)，(sin20,cos20)，若t是实数，且t，则|的最小值为（ ）AB1CD10O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：l()，l(0,)，则直线AP一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心二、填空题11已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，则sin2q的值为_12已知在OAB(O为原点)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若5，则SAOB的值为_.13已知向量(1，1)向量与向量夹角为，且1.则向量_三、解答题14已知向量(sinA,cosA)，(,1)，1，且为锐角.()求角A的大小；()求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域15在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，满足，bca.()求A的大小；()求sin(B)的值16ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大小；()当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角的大小.17已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求证：向量与向量不可能平行；（）若f(x)，且x,时，求函数f(x)的最大值及最小值18设函数，其中向量， （）求函数的最大值和最小正周期； （）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的19已知向量（）若，求；（）求的最大值【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型【例1】【解】（）、共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则sin2A，又A为锐角，所以sinA，则A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2Bsin2Bcos2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.2、【解】（），0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin3、【解】()|，222，将向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，cos().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.4、【解答】因为为的最小正周期，故因为，又，故由于，所以练习解：（）f(x)m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)1，当sin(x)1时，f(x)的最小值为1.5、【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.6、【解答】（1），,又，解得：，是锐角，（2），又，7、【解答】（）由已知，得（）由（）得当时，的最小值为，由，得值的集合为 8、【解答】，平移后的解析式为，选9、【解答】（）的最大值为，最小正周期是（）要使成立，当且仅当，即,即成立的的取值集合是【专题训练】参考答案一、选择题1B解析：由数量积的坐标表示知cos40sin20sin40cos20sin60.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因为cosBAC0，BAC为钝角.4B 【解析】由平行的充要条件得sinacosa0，sin2a1，2a90，a45.5B 【解析】sin|sin|，(，)，|sin|sin，0，6A l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7C 【解析】|3.8D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()()cos2acos2bsin2asin2b0，()()9C 【解析】|2|2t2|22t1t22t(sin20cos25cos20sin25)t2t1(t)2，|，|min.10C 【解析】设BC的中点为D，则2，又由l()，2l，所以与共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过ABC的重心二、填空题11 【解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q12 【解析】510cosacobs10sinasinb510cos(ab)5cos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB2513(1，0)或(0，1) 【解析】设(x，y)，由1，有xy1 ，由与夹角为，有|cos，|1，则x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答题14【解】()由题意得sinAcosA1，2sin(A)1，sin(A)，由A为锐角得A，A.()由（）知cosA，所以f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx)2，因为xR，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f(x)有最大值当sinx1时，f(x)有最小值3，所以所求函数f(x)的值域是3，15【解】()由，得2sin2A1cosA0，即2cos2AcosA10，cosA或cosA1.A是ABC内角，cosA1舍去，A.()bca，由正弦定理，sinBsinCsinA，BC，sinBsin(B)，cosBsinB，即sin(B)16【解】()由，得0，从而(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、B(0，