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一折叠类1. (13江苏徐州卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边,边,且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合将矩形折叠,使点A落在边DC上,设点是点A落在边DC上的对应点(图1)(1)当矩形ABCD沿直线折叠时(如图1),求点的坐标和b的值;(2)当矩形ABCD沿直线折叠时, 求点的坐标(用k表示);求出k和b之间的关系式; 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形,请你分别写出每种情形时k的取值范围(将答案直接填在每种情形下的横线上)(当如图1、2折叠时,求D的取值范围?)(图4)(图2)(图3)k的取值范围是 ; k的取值范围是 ;k的取值范围是 ;解 (1)如图答5,设直线与OD交于点E,与OB交于点F,连结,则OE = b,OF = 2b,设点的坐标为(a,1)因为,所以,所以OFE所以,即,所以所以点的坐标为(,1)连结,则在Rt中,根据勾股定理有 , 即,解得 (2)如图答6,设直线与OD交于点E,与OB交于点F,连结,则OE = b,设点的坐标为(a,1)因为,所以,所以OFE所以,即,所以所以点的坐标为(,1)连结,在Rt中,因为,所以所以在图答6和图答7中求解参照给分(3)图132中:;图133中:;图134中: (图答5)(图答7)(图答6)点评这是一道有关折叠的问题,主要考查一次函数、四边形、相似形等知识,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会。2. (13广西钦州卷)如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点为原点,为上一点,把沿折叠,使点恰好落在边上的点处,点的坐标分别为和(1)求点的坐标;(2)求所在直线的解析式;5DEAxyCMB(3)设过点的抛物线与直线的另一个交点为,问在该抛物线上是否存在点,使得为等边三角形若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)根据题意,得, 点的坐标是; (2),设,则,在中,5DHGEAxyCFMB解之,得,即点的坐标是 设所在直线的解析式为, 解之,得 所在直线的解析式为; (3)点在抛物线上,即抛物线为假设在抛物线上存在点,使得为等边三角形,根据抛物线的对称性及等边三角形的性质,得点一定在该抛物线的顶点上设点的坐标为,即点的坐标为 设对称轴与直线交于点,与轴交于点则点的坐标为,点在轴的右侧, ,在中,解之,得 ,点的坐标为 在抛物线上存在点,使得为等边三角形 点评这是一道以折叠为背景的综合型压轴题,综合性较强,这类试题在各地中考题中出现的频率不小,本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解,第3小题是探究型问题,是一道检测学生能力的好题。3(13湖北咸宁卷)如图,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求点,的坐标;(2)若过点的抛物线与轴相交于点,求抛物线的解析式和对称轴方程;(3)若(2)中的抛物线与轴交于点,在抛物线上是否存在点,使的内心在坐标轴上?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由(4)35若(2)中的抛物线与轴相交于点,点在线段上移动,作直线,当点移动到什么位置时,两点到直线的距离之和最大?请直接写出此时点的坐标及直线的解析式4. .(14台州市) Oxy(第24题)CBED24如图,四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点在轴上,点在轴上,将边折叠,使点落在边的点处已知折叠,且(1)判断与是否相似?请说明理由;(2)求直线与轴交点的坐标;(3)是否存在过点的直线,使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由解:(1)与相似理由如下:由折叠知,(第24题图2)OxyCBEDPMGlNAF,又,(2),设,则由勾股定理得由(1),得,在中,解得,点的坐标为,点的坐标为,设直线的解析式为,解得,则点的坐标为(3)满足条件的直线有2条:,如图2:准确画出两条直线5. (14宁德市)26. 已知:矩形纸片中,厘米,厘米,点在上,且厘米,点是边上一动点按如下操作:步骤一,折叠纸片,使点与点重合,展开纸片得折痕(如图1所示);步骤二,过点作,交所在的直线于点,连接(如图2所示)(1)无论点在边上任何位置,都有 (填“”、“”、“”号);(2)如图3所示,将纸片放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:当点在点时,与交于点点的坐标是( , );当厘米时,与交于点点的坐标是( , );当厘米时,在图3中画出(不要求写画法),并求出与的交点的坐标;(3)点在运动过程,与形成一系列的交点观察、猜想:众多的交点形成的图象是什么?并直接写出该图象的函数表达式APBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy61218图3ANPBCMDEQT图2解: (1)(2);画图,如图所示解:方法一:设与交于点0(A)BCDE6121824xy61218FMGP在中, 又,方法二:过点作,垂足为,则四边形是矩形,设,则在中,(3)这些点形成的图象是一段抛物线函数关系式: 6. (14日照市)24. 如图,直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分,E、F分别与BC交于点E,与AD交于点F(E,F不与顶点重合),设AB=a,AD=b,BE=x()求证:AF=EC;()用剪刀将纸片沿直线EF剪开后,再将纸片ABEF沿AB对称翻折,然后平移拼接在梯形ECDF的下方,使一底边重合,直腰落在边DC的延长线上,拼接后,下方的梯形记作EEBC. (1)求出直线EE分别经过原矩形的顶点A和顶点D时,所对应的 xb的值; (2)在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下,连接BE,直线BE与EF是否平行?你若认为平行,请给予证明;你若认为不平行,请你说明当a与b满足什么关系时,它们垂直?解: ()证明:AB=a,AD=b,BE=x ,S梯形ABEF= S梯形CDFEa(x+AF)=a(EC+b-AF),2AF=EC+(b-x)又ECb-x,2AF=2EC,即AF=EC; ()(1)当直线EE经过原矩形的顶点D时,如图(一),ECEB,=.由ECb-x,EB=EB=x, DB=DC+CB=2a,得,xb= ;当直线EE经过原矩形的顶点A时,如图(二),在梯形AEBD中,ECEB,点C是DB的中点,CE=(AD+ EB), 即b-x(bx),xb= (2) 如图(一), 当直线EE 经过原矩形的顶点D时,BEEF证明:连接BFFDBE, FD=BE,四边形FBED是平行四边形,FBDE, FB=DE,又ECEB, 点C是DB的中点,DE=EE,FBEE, FB= EE,四边形BEEF是平行四边形BEEF如图(二), 当直线EE 经过原矩形的顶点A时,显然BE与EF不平行,设直线EF与BE交于点G.过点E作EMBC于M, 则EM=a.xb=,EM=BC=b若BE与EF垂直,则有GBE+BEG=90,又BEGFECMEE, MEE+MEE=90,GBE=MEE.在RtBME中,tanEBM= tanGBE=在RtEME中,tanMEE =,又a0,b0,当时,BE与EF垂直.7. (14荆门市)28. 如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折,得到PDB;再在OC边上选取适当的点E,将POE沿PE翻折,得到PFE,并使直线PD、PF重合(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标图1图2解:(1)由已知PB平分APD,PE平分OPF,且PD、PF重合,则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90,OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0x4)且当x=2时,y有最大值(2)由已知,PAB、POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(4,3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc,则y=(3)由(2)知EPB=90,即点Q与点B重合时满足条件直线PB为y=x1,与y轴交于点(0,1)将PB向上平移2个单位则过点E(0,1),该直线为y=x1由得Q(5,6)故该抛物线上存在两点Q(4,3)、(5,6)满足条件8. (14湖北省孝感市)25.在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是: 第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).(图1) (图2) 请解答以下问题:(1)如图2,若延长MN交BC于P,BMP是什么三角形?请证明你的结论(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角
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