2021年高考考点扫描高考一轮考点扫描真题剖析逐一击破 考点9 函数与方程【考点剖析】1.最新考试说明：（1）结合二次函数的图象 ,了解函数的零点与方程根的联系 ,判断一元二次方程根的存在性及根的个数【2020年高考天津卷9】已知函数若函数恰有4个零点 ,则的取值范围是（ ）ABCD【2020年高考山东卷6】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数 ,世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段 ,可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律 ,指数增长率与 ,近似满足有学者基于已有数据估计出 ,据此 ,在新冠肺炎疫情初始阶段 ,累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（ ）A天 B天 C天 D天【2020年高考上海卷11】已知 ,若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件 ,对任意 ,的值为或；关于的方程无实数解；则的取值范围为 【2019年高考全国卷理数】设函数的定义域为R ,满足 ,且当时 ,若对任意 ,都有 ,则m的取值范围是AB C D（2）根据具体函数的图象 ,能够用二分法求相应方程的近似解【2020浙江省高三模拟】）设函数与的图象交点为 ,则所在的区间是（ ）ABCD【2020江苏省南通如皋市高三】已知函数的零点在区间内 ,则正整数的值为_2.命题方向预测：（1）考查具体函数的零点个数和零点的取值范围. （2）利用函数零点求解参数的取值范围. （3）考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想（4）2016年多套高考试卷出现考查函数与方程的题目 ,预测2017年依然会有类似题目.3.课本结论总结：（1）几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点（2）函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a ,b上的图象是连续不断的一条曲线 ,并且有 ,那么 ,函数yf(x)在区间（a ,b)内有零点 ,即存在c(a ,b) ,使得f(c)0 ,这个c也就是方程f(x)0的根（3）二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系：000)的图象与x轴的交点（x1,0）,(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个（二重的）零个（4）给定精确度 ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a ,b ,验证f(a)f(b)0 ,给定精确度；求区间(a ,b)的中点c；计算f(c)；(i)若f(c)0 ,则c就是函数的零点；ii)若f(a)f(c)0 ,则令bc(此时零点x0(a ,c)；(iii)若f(c)f(b)0 ,则令ac(此时零点x0(c ,b)判断是否达到精确度.即若|ab| ,则得到零点近似值a(或b)；否则重复.4.名师二级结论：（）二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点分布情况根的分布(mnp为常数)图象满足的条件x1x2m (两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)x1mx2 (一根大于m ,一根小于m)f(m)0x1 ,x2(m ,n) (两根位于m ,n之间)mx1nx2p (两根分别位于m与n ,n与p之间)只有一根在m ,n之间或f(m)f(n)0（）有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数 ,则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数 ,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时 ,函数值符号可能不变 ,也可能改变(4)函数至多有个零点5.课本经典习题：(1) 新课标A版必修一第88页 ,例1 求函数的零点的个数.【答案】仅有一个零点【解析】首先注意函数的定义域为 ,再因为在恒成立 ,所以函数在上是增函数 ,又因为 ,且 ,由零点存在性定理及函数的单调性可知：函数的零点有且仅有一个。【经典理由】函数零点个数的判断是高考命题的热点。(2) 【课本典型习题改编 ,P119B组第1题】方程的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【经典理由】判断方程的根所在的大致范围这也是高考命题的一个热点 ,在教学中应引起足够的重视6.考点交汇展示：(1)函数的零点与三角函数交汇例1（2020夏津第一中学高三）若函数 ,的图象与直线恰有两个不同交点 ,则的取值范围是_.例2（2020全国高三其他（理）已知函数在上有且仅有3个零点 ,有下述四个结论：的最小正周期为；在上有且仅有3个极大值点；在上单调递减；的取值范围是. 其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD(2) 函数的零点与不等式交汇例3（2020四川省仁寿第二中学高三）已知函数 , ,若函数在上有两个零点 ,则实数的取值范围为（ ）ABCD例4.关于的方程 ,给出下列四个命题：存在实数 ,使得方程恰有2个不同的实根；存在实数 ,使得方程恰有4个不同的实根；存在实数 ,使得方程恰有5个不同的实根；存在实数 ,使得方程恰有8个不同的实根其中正确命题的个数是（ ）A1B2C3D4(3) 函数的零点与函数的最值、极值等交汇例5.设函数 ,若和是函数的两个零点 ,和是的两个极值 点 ,则等于( )A B C D 例6.已知函数有两个极值点 ,且 ,若 ,函数 ,则（ ）A. 恰有一个零点 B. 恰有两个零点 C. 恰有三个零点 D. 至多两个零点【考点分类】热点1函数零点的求解与判断1方程的实根的个数为_2.已知函数是上的偶函数 ,且 ,当时 , ,则函数的零点个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63（2020浙江省杭州第二中学高三）已知 ,记的零点个数为 ,的零点个数为 ,则的值不可能是（ ）A0B1C2D34（2020湖南省高三已知函数 , ,当 ,且时 ,方程根的个数是（ ）A5B6C7D8【方法规律】1方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2函数零点的判断：(1)解方程：当对应方程易解时 ,可通过先解方程 ,看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断：首先看函数yf(x)在区间a ,b上的图象是否连续 ,再看是否有f(a)f(b)0.若有 ,则函数yf（x）在区间（a ,b）内必有零点.(3) 数形结合法：通过画函数图象 ,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【解题技巧】1函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程 ,可以将它与函数的图象联系起来 ,并利用函数的性质找出零点。确定函数的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有.若有,则函数在区间内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.确定方程在区间上根的个数的方法(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令 ,如果能求出解 ,则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线 ,且 ,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像 ,看其交点的个数 ,其中交点的横坐标有几个不同的值 ,就有几个不同的零点函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数 ,其步骤是：(1)令；(2)构造 ,；(3)作出图像；(4)由图像交点个数得出结论【易错点睛】1.函数零点忽视单调性的存在。例如：若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线 ,且f(x)在(2,2)内有一个零点 ,则f(2)f(2)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D不能确定解答：若函数f(x)在(2,2)内有一个零点 ,该零点可分两种情况：(1)该零点是变号零点 ,则f(2)f(2)0 ,因此选D.易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题 ,可以根据区间端点处的函数值的正负来确定 ,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性 ,在给定的区间上 ,如果函数是单调的 ,它至多有一个零点 ,如果不是单调的 ,可继续细分出小的单调区间 ,再结合这些小的区间的端点处函数值的正负 ,作出正确判断本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性 ,事实上 ,当f(x)在(2,2)内有一个零点时 ,f(2)f(2)的符号不能确定2.要注意对于在区间a ,b上的连续函数f(x) ,若x0是f(x)的零点 ,却不一定有f(a)f(b)0 ,即f(a)f(b)0仅是f(x)在a ,b上存在零点的充分条件 ,而不是必要条件注意以下两点：满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；不满足零点存在性定理条件时 ,也可能有零点由函数在闭区间上有零点不一定能推出 ,如图所示所以是在闭区间上有零点的充分不必要条件 注意：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线 ,并且函数在区间上是一个单调函数 ,那么当时 ,函数在区间内有唯一的零点 ,即存在唯一的 ,使.如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线 ,并且有 ,那么 ,函数在区间内不一定没有零点如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线 ,那么当函数在区间内有零点时不一定有 ,也可能有.热点2函数零点与函数的性质的综合应用1.设函数与的图象的交点为 ,则 所在的区间是（ ）A. B. C. D. 2（2020天津高三二模）已知定义在上的偶函数满足 ,且当时 , ,若方程恰有两个根 ,则的取值范围是（ ）ABCD3（2020四川省高三模拟）若为偶函数 ,且时 , ,若函数恰有7个零点 ,则实数m的值是_【方法规律】已知函数有零点求参数取值