立体几何综合题1.如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，点在上，且（1）已知点在上，且，求证：平面平面；（2）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？解析：（），底面是直角梯形，即，来源:学科网ZXXK四边形是平行四边形，则，来源:Zxxk.Com， 底面，平面，平面，平面平面（）解：，平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成夹角为，则，即，取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则即令，则，是平面的一个法向量，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为2.如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,是上一点,.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.解析：（1）以为原点,向量、的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,由已知可得,则，设平面的一个法向量为，可求得,取平面的一个法向量为,即二面角的大小为来源:学科网（2）由（1）知平面的一个法向量为，又,点到平面的距离.3.在正方形中,的中点为点,的中点为点,沿将向上折起得到,使得平面平面,此时点位于点处.(1)证明:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.来源:学科网解析： (1)证明:连接,交于点,交于点,连接,如图所示.在正方形中,为的中点,为的中点,所以.由于为沿着翻折而来,从而,所以平面,来源:Z.xx.k.Com而在平面内,所以.(2)设中点为,连接,交于点,连接,同(1)可知平面,从而平面平面,所以.由平面,可得平面平面.又因为平面平面,且平面与平面相交于,所以平面.设点为原点,过点作轴平行于,作轴平行于,为轴,如图所示.不妨设正方形的边长为,从而,.又因为,所以,在直角中,由勾股定理可得,所以,即,所以可以求得平面的法向量为,平面的法向量为,所以可以得出法向量,之间夹角的余弦值为,则所求二面角的正弦值为.4.如图,已知三棱锥,平面,为的中点.(1)求证:;(2)求二面角的大小.解析： (1)因为平面,所以.因为,所以,又,所以平面.故.(2)过点作的平行线,交于点,过点作的平行线,交于点,连接.因为平面,所以平面,所以.又因为,所以,因为,所以平面,所以.所以为二面角的平面角.设,则,.所以,所以,即二面角的大小为.