,14.2空间直线与直线的位置关系,复引入：,1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？,(1)、相交：有且仅有一个公共点。,(2)、平行：在同一平面内没有公共点。,互相平行,问题：空间中的如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线之间的位置关系呢？,复,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。,ab cb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,例题讲解,例1：如图，已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1 的面ABCD上一点，经过点P作棱AB的平行 线，应该怎样作，并说明理由。,例题讲解,例2：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 已知E,F分别是B1C1,AD的中点，求证： A1F/EC。,例3： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,例题讲解,E,H,F,G,分析： 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,变式练,在例3中，如果再加上条件AC=BD， 那么四边形EFGH是什么图形?,空间四面体A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， 求证:四边形ABCD为梯形.,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等。,变式练,问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与BAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,复,2.等角定理,定理1：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,新课讲授,定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,新课讲授,3.空间中两条直线的位置关系,观察：,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?,观察长方体的棱所在 直线,回答类似的问题.,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？,要用数学的眼光看世界,异面直线的定义：,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:,1、相交,2、平行,只有一个公共点,没有公共点,在同一平面,空间中两直线的三种位置关系,3、异面,没有公共点,不同在任一平面,按平面基本性质分,共面,相交直线,平行直线,不共面,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,空间中直线与直线之间的位置关系,发挥你的想象力:,练1 ：下列说法是否正确 （1） ,则 与 是异面直线 （2） 不同在平面 内，则 与 是异面直线,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,不同在平面 内,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,异面直线的定义:,我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skewlines）。,想一想:怎样通过图形来表示异面直线?,为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:,想一想,做一做：,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？,例题：,2.已知：直线l与平面a相交于点A，直线m 在平面a上，且不经过点A，求证：直线l与 m是异面直线。,注：常用反证法证明两条直线是异面直线。,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,练提升,“a，b是异面直线”是指ab=,且a不平行于b；a 平面 ，b 平面 且ab= a 平面 ，b 平面 不存在平面 ，能使a 且b 成立,1、,上述结论中，正确的是 （） （A） （B） （C） （D） 2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面,D,D,4.异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，,怎样求两条异面直线所成的角呢？,解决设想,O,概念形成,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角,O,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,答 : 这个角的大小与O点的位置无关.,理论支持:定理,1,结论:,两异面直线所成角的范围为：,空间两直线所成角的范围：,当异面直线 和 所成角为直角时， 记为,角的大小由异面直线的相对位置决定，与点 的选取无关,例 1.如图,在正方体 中,棱长为1,求下列异面直线所成角的大小,(1) 与,(2) 与,(3) 与,4.异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。,为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线aa，a和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。,想一想:a与b所成角的大小与点O的位置有关吗?,4.异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,5.异面直线的判定定理,异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,与 是异面直线,求异面直线所成角的步骤 一找(作)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的 异面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角,例2：如图所示，空间四边形 中对角线 ， 分别为 中点， ，问： 与 是异面直线吗？若是，求它们所成的角。,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA和CC的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA和CC的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,解：（2）由 可知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。,(3) 直线,与直线 都垂直.,练一练,巩固新知：P48页练1,2题。,例3:如图， 是平面 外的一点 分别是 的重心， 求证： 。,证明：连结 分别交 于 ,连结 , G,H分别是ABC,ACD的重心,M,N分别是BC,CD的中点, MN/BD, 又 GH/MN,由公理4知GH/BD.,练反馈：,1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）,练反馈：,2选择题 （1）“a，b是异面直线”是指ab=,且a不平行于b；a 平面a，b平面b且ab= a平面a，b平面a不存在平面a，能使aa且ba成立 上述结论中，正确的是（） （A） （B） （C） （D）,（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（） （A）2对 （B）3对（C）6对（D）12对,C,C,（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交 （C）异面（D）相交或异面,3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？,答：不一定，还可能异面,D,D,4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？,答：三种：相交，平行，异面,5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线,6选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ） （A）异面（B）平行 （C）相交（D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足aa,bb,ab=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ ）,(A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.,D,B,（3）两异面直线所成的角的范围是（ ） （A）（0,90） （B）0,90) （C）（0,90（D）0,90,7判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“” （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（） （2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（） （3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）,C,课堂小结： 这节课我们学了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”,作业布置: P51A组3、4（1）（2）（3）、5、6.,