第五节 数系的扩充与复数,1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a+bi(其中a,b是实数)的数叫复数，其中实部是_，虚部 是_.,a,b,(2)复数的分类,b=0,b0,a=0且b0,a=b=0,(3)复数相等：a+bi=c+di(其中a,b,c，d是实数) (4)共轭复数：对任意复数z=a+bi(a,bR)，如果保持它的实部 a不变，将虚部b变成_,得到的复数_称为原来 的复数z的共轭复数，记为_. (5)复数的模 对于任意复数z=a+bi，我们将它在复平面上所对应的向量的模 _称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作_.,它的相反数-b,a-bi,|z|,【即时应用】 判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 若3+(2+x)i为实数(xR),则x=-2. ( ) 已知x,yR,若(x+2)+yi=3+2i，则x=1,y=2. ( ) 2i+3的共轭复数为-3+2i. ( ) |1+i|2-i|. ( ),【解析】3+(2+x)i若为实数，则2+x=0,x=-2,故正确. 由复数相等知， 故正确. 2i+3的共轭复数为-2i+3,故错误. 故错误. 答案： ,2.复数的运算 复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_; 减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_; 乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=_; 除法： _,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,【即时应用】 (1)设z=3i+2,则1- =_. (2) 为实数，则实数a=_. (3) +(3+i)(1-i)=_.,【解析】(1)z=3i+2, =2-3i,1- =1-(2-3i)=-1+3i. (2) 为实数， (1-a)=0,a=1. (3)原式 答案：(1)-1+3i (2)1 (3)5,3.复数的几何表示 (1)复平面的概念：与全体复数建立了一一对应关系的平面. (2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_,y轴叫做_，实轴 上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示_. (3)复数的几何意义 其中|z|=| |.,实轴,虚轴,实数,纯虚数,P(a,b),(4)复数的加法和减法的几何意义复数 的加、减法可以转化为其对应的向量的 加、减法,即满足平行四边形法则或三 角形法则.如图所示,设复数z=a+bi, =c+di,分别用向量 表示,则z+= ,其中OC是以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线；z-= ;kz对 应的向量,【即时应用】 判断下列命题是否正确 (请在括号内填写“”或“”). 原点是实轴与虚轴的交点 ( ) 1+ 对应的点位于第四象限 ( ) 若z=3+2i，则 在复平面上对应的点在第三象限 ( ),【解析】原点在实轴上，且在虚轴上，故正确；1+ =1-i,1-i对应的点为(1,-1)在第四象限，故正确；由 =3-2i知不正确. 答案： ,热点考向 1 复数的有关概念 【方法点睛】 解决有关复数概念问题的方法 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的公式求解.,【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达有关概念，如a+bi为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi的虚部是什么;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.,【例1】(1)设i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数a为 ( ) (A)2 (B)-2 (C)- (D) (2)(2012江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位), 是z的共 轭复数，则 的虚部为( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2,【规范解答】(1)选A. 又 是纯虚数， 则 所以a=2. (2)选A. 因为z=1+i，所以z=1-i， =(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚部为0.,【变式训练】已知复数 +(a2-5a-6)i(aR),试求实数a分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)纯虚数. 【解析】(1)当z为实数时，则有 a=6, 即a=6时，z为实数.,(2)当z为纯虚数时，则有 不存在实数a使z为纯虚数.,热点考向 2 复数的代数运算 【方法点睛】 1.复数的代数运算技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.,2.几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. (1)(1+i)2=2i;(2)(1-i)2=-2i; (5)-b+ai=i(a+bi); (6)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN+.,【例2】(1) (2012福建高考)若复数z满足zi=1-i,则z等于 ( ) (A)-1-i (B)1-i (C)-1+i (D)1+i (2)i为虚数单位，则 =( ) (A)-i (B)-1 (C)i (D)1,(3)把复数z的共轭复数记作 ,i为虚数单位.若z=1+i,则 (1+z) =( ) (A)3-i (B)3+i (C)1+3i (D)3,【规范解答】(1)选A.zi=1-i,z=(1-i)(-i)=-1-i. (2)选A. (3)选A.(1+z) = +|z|2=1-i+2=3-i.,【互动探究】本例(3)中题干不变，若 =2+i，则复数z=_. 【解析】 =(1+i)(2+i)=1+3i,z=1-3i. 答案：1-3i,【变式备选】(1)复数 的值是( ) (A)-1 (B)1 (C)-i (D)i (2)复数 =( ) (A)0 (B)2 (C)-2i (D)2i (3)设z=1+i，则 =( ) (A)-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i,【解析】(1)选A. 故选A. (2)选D. 故选D. (3)选D. 故选D.,热点考向 3 复数的几何意义 【方法点睛】 复数的几何意义及应用 (1)|z|表示复数z对应的点与原点的距离. |z1-z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离. (2)结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活.,【例3】(1)复数 (i为虚数单位)在复平面内对应的点所 在象限为( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限,(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数 的点是( ) (A)E (B)F (C)G (D)H,(3)如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3+2i, -2+4i,试求： 对应的复数， 对应的复数； 对应的复数.,【解题指南】(1)(2)两题解题的关键是把所给复数化成 a+bi(a,bR)的形式，再利用复数的几何意义求解. (3)利用 对应的复数等于点A对应的复数减去点C对应的复 数，和向量的运算去解决.,【规范解答】(1)选D. 所以复数z所对应的点在第四象限. (2)选D.由图可得z=3+i, 对应的点为(2,-1)，即点H.,(3) 对应的复数为-3-2i. ， 对应的复数为-3-2i. 对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.,【互动探究】本例(3)题中，已知条件不变，若设P为复平面上一 点且满足 如何求解P点的轨迹方程. 【解析】设点P代表的复数为z=x+yi(x,yR). P点轨迹是以原点为圆心，以 为半径的圆， 故点P的轨迹方程为x2+y2=29.,【反思感悟】解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义(如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式的四则运算.,【变式备选】(1)若 则复数z对应的点在复平面 内的( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)虚数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时， 的取值范围是( ),【解析】(1)选C.由 可知，复数 z对应的点在复平面内的第三象限. (2)选B. 设 则k为过圆(x-2)2+y2=1上点及原点的直线的斜率，如图,设圆(x-2)2+y2=1的圆心为M，过原点作圆M的切线OA，则sinAOM= . 又y0,k0.由对称性可知选B.,1.(2011福建高考)i是虚数单位，若集合S=-1,0,1，则( ) (A)iS (B)i2S (C)i3S (D) S 【解析】选B.i2=-1,而集合S=-1,0,1,i2S.,2.(2013龙岩模拟)若复数 则 等于( ) (A)-i (B)i (C)2i (D)1+i 【解析】选B.因为 所以,3.(2013泉州模拟)如果复数m2(1+i)+(m+i)i2为纯虚数，则实 数m的值为( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0或1 【解析】选A.m2(1+i)+(m+i)i2=(m2-m)+(m2-1)i为纯虚数， m=0.,4.(2013福州模拟)若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(mR),z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 【解析】选A.由 解得m=-2或m=1, 所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.故选A.,5.(2012湖南高考)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则|z|=_. 【解析】z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,|z|= 答案：10,6.(2012重庆高考)若(1+i)(2+i)=a+bi，其中a,bR，i为虚数单位，则a+b=_. 【解析】(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i=a+bi, 所以a=1,b=3,a+b=4. 答案：4,