第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件,【2014年高考会这样考】 1考查四种命题之间的关系，明确四种命题的构成形式，能运用所学知识判断命题或其等价命题的真假，多以填空题或选择题的形式考查 2判断指定的条件与结论之间的关系或探求其结论成立时的条件等，一般以选择题、填空题的形式考查，有时融入到解答题中综合考查,考点梳理,1四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系,(2)四种命题的真假判断 两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性 两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性_ _ (1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的 _条件，q是p的_条件 (2)当命题“若p，则q”为假命题时，记p/ q称p是q的不充分条件，q是p的不必要条件 (3)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的_条件，q也是p的_条件,2充分条件、必要条件与充要条件,相同,没有关,系,必要,充分,充要,充要,一个等价关系 互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断真假的命题可转化为对其等价命题来判断 两种判断方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假 (2)集合法：记Ax|xp，Bx|xq若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充要条件,【助学微博】,答案C,考点自测,A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析因为f(x)是偶函数k，kZ，所以“0”是“f(x)是偶函数”的充分而不必要条件 答案A,2(2012天津)设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR) 为偶函数”的 (),A0 B1 C2 D3 解析原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，则b24ac0”，为真命题，则它的否命题也为真 答案D,3(湘教版教材习题改编)命题“如果b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为 (),A若abc3，则a2b2c23 B若abc3，则a2b2c23 C若abc3，则a2b2c23 D若a2b2c23，则abc3 解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题 答案A,4(2011山东)已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是 (),“ab”是“a2b2”的充分条件； “|a|b|”是“a2b2”的必要条件； “ab”是“acbc”的充要条件 解析由23/ 22(3)2知，该命题为假命题； a2b2|a|2|b|2|a|b|，该命题为真命题； abacbc，又acbcab； “ab”是“acbc”的充要条件为真命题 答案,5下列命题中所有真命题的序号是_,A命题“若xy0，则x0”的否命题为“若xy0，则 x0” B“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 C命题“xR，使得2x210”的否定是“xR，均 有2x210” D命题“若cos xcos y，则xy”的逆否命题为真命题,考向一四种命题及其关系,【例1】(2012济南模拟)下列有关命题的说法正确的是 (),审题视点 (1)根据四种命题的定义判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题表达格式的正误 (2)判断一个命题的真假时，若命题简单可直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断 解析命题“若xy0，则x0”的否命题为“若xy0，则x0”，所以A错；命题“xR，使得2x210”的否定是“xR，均有2x210”，所以C错；命题“若cos xcos y，则xy”为假命题，故其逆否命题也假，故D错；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”显然正确所以应选B. 答案B,(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例,“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题； 命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”； 命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题； 命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价,【训练1】 以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号),解析对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，因此是假命题，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有. 答案,A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 审题视点 根据充分条件、必要条件的定义判断 解析a0时，abi不一定是纯虚数，但abi为纯虚数时，a0一定成立，故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要不充分条件 答案B,考向二充分条件与必要条件的判断,【例2】(2012北京)设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的 (),充分条件和必要条件反映了条件和结论之间的关系，结合具体问题可按照以下三个步骤进行判断：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，结论推条件；确定条件和结论是什么关系,A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案A,【训练2】 (2011天津)设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的 (),审题视点 直接利用求根公式进行计算，然后用整数等有关概念进行分析、验证 答案3或4,考向三充要条件的探求,【例3】(2011陕西)设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.,解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性,A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案C,【命题研究】 通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，有关充分条件和必要条件的考题，是通过对命题条件和结论的分析，一方面运用集合观点进行求解，另一方面可从逻辑关系上去寻找联系考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解，考查角度主要是充分条件、必要条件和充要条件的判断，它往往是在不同知识点的交会处进行命题，考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假的确定今后凡是遇到“p是q的什么条件”的题目，一要养成化简条件、结论为最简形式的好习惯，二要养成“解决彻底”的好习惯，既要解决充分性，又要解决必要性,方法优化1充要条件的判断方法,A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 教你审题 先根据函数的性质确定这两个命题的充要条件，然后根据定义法将其转化为两个简单命题进行判断 一般解法 第1步 确定“函数f(x)ax在R上是减函数”的充要条件：a(0,1)； 第2步 由g(x)3(2a)x20知g(x)在R上是增函数的充要条件：a(0,1)(1,2)； 第3步 (0,1)(0,1)(1,2)所以选A.,【真题探究】 (2012山东)设a0且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的 (),答案 A,A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件,答案A,