第五章 平面向量,第1讲 平面向量的概念与运算,【考纲下载】,1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量加法、减法的运算 3掌握实数与向量的积 4理解两个向量共线的充要条件 5了解平面向量的基本定理 6理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.,1向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量，向量的大小叫做 向量的 (或模) (2)零向量：长度为 的向量，其方向是 的 (3)单位向量：长度等于 的向量 (4)平行向量：方向 或 的 向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量 (6)相反向量：长度 且方向 的向量,大小,方向,长度,0,任意,1个单位长度,相同,相反,非零,相等,相同,相等,相反,提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义 不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同,2向量的运算 (1)向量的加法与减法 加法 减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则,(2) 实数与向量的积 |a| . 当 时，a与a的方向相同；当 时，a与a的方向相反； 当0时，a . 运算律：设，R，则： a(a) ； b()a ； c(ab) .,0,0,()a,|a|,aa,ab,0,(3)平面向量的坐标运算 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab 如果A (x1，y1) ，B (x2，y2) 则 ， 若a(x，y)，为实数，则a ；当 时， 表示a方向的单位向量,(x2x1，y2y1),(x，y),(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),a,提示：向量的坐标与点的坐标的表示形式是不同的，向量的坐标的表示形式是先写上向量的名称，再写上等号，然后写上它的坐标，如a(x，y)；而点的坐标的表示形式中，点的名称和它的坐标之间不能写等号，如A(x，y),3两个向量共线定理 (1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba； (2)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是.,【思考】 如何用向量法证明三点A、B、C共线？,x1y2x2y10,如果e1，e2是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 一对实数1，2，使a . 其中， 叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底 提示：(1)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的 (2)对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基 底,有且只有,不共线,1e12e2,不共线的向量e1、e2,4平面向量基本定理,1(2009重庆卷)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行， 则实数x的值是() A2 B0 C1 D2 解析：ab(3，x1),4b2a(6,4x2)， 3(4x2)6(x1)0，解得x2. 答案：D,2. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(),答案：C,3,解析： 答案：A,4给出下列命题：,向量 的长度与向量 的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点的相等向量，其终点必相同； 两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；,其中错误的命题序号是_,解析： 中， 向量 与 为相反向量 它们的长度相等， 此命题正确,中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反， 此命题错误 由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相 同，该命题正确 由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误 若 与 是共线向量是方向相同或相反的向量，是共线向量，则A、B、 C、D四点不一定在一条直线上，该命题错误 答案：,在求向量时，要尽可能地将其转化到平行四边形或三角形中去，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数乘运算来求解.,思维点拨：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键,【例1】如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,MN分别是DC、AB的中点,已知,解析:,利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标,思维点拨：先设C、D点的坐标，利用向量相等列方程组求解,【例2】已知点A(1,2),B(2,8)以及 求点C、D的坐标和的坐标.,解:设点C、D的坐标分别为（x1,y2)(x2,y2),由题意得,所以点C、D的坐标分别是（0，4）、（2，0 ） ， 从而,变式2：已知点A(1,0)、B(0,2)、C(1，2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标,解析：,即(1,2)(x1，y2)解得x2，y0. D点的坐标为(2,0)(如图中的D3) 综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0， 4) 或(2,4)或(2,0),(1)证明三点A、B、C共线，借助向量，只需要证明由这三点A、B、C所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数，使ab(b0)即可 (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到欲求向量而如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是：x1y2x2y10”比较简捷,拓展3：若将本例(1)中的条件改为“如果,且A、C、D三点共线”，如何求k的值？,解:,【方法规律】,1将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量 坐标形式的基础 2首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的 向量；若这两点重合，则和为零向量 3通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要注意到向量的平行与 直线的平行的区别,4. 向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理.平面向量 实数对(x，y) . 任何一个平面向量都有唯一的坐标系表示,但是每一个坐标所表示的向量却不一定 唯一,也就是说,向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系,但和始点为原点O的向 量是一一对应的关系.即向量(x，y) 点A(x，y)向量的坐 标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 正确理解向量平行与线段平行，向量相等与线段相等的关系是解题的关键,5已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的 终点坐标减去始点坐标，本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误 认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂直的坐标表示 混淆.,【高考真题】,(2009安徽)在平行四边形ABCD中，E、F分别是边CD和BC的中点，若 ，其中，R，则_.,所以 . 答案：,【规范解答】,【探究与研究】,本题主要考查了向量的线性运算和平面向量的基本定理向量加法的运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是本题运算的主要依据作为平面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的基本定理是往年高考考查的重点，值得关注,在解决向量问题时，常常有一种有效办法，即首先选择好平面向量的一组基底，然后把问题中涉及的所有向量都用这组基底来表示，也就是说通过减少向量的个数，把问题转化为仅关于基底中的两个向量的问题来解决,找准此题的突破口是解决本题的关键，诸多考生不知如何下手，难以发现三个向量 间的联系，也就很难得到正确的答案还有解决本题要有一定的运算能力，考生运算不准确也是导致本题错误的一个原因,【发散类比】,此题解答过程的最后也可以不分别求出，的值，可以将方程组两边分别相加，直接可得 . 另外，此题用数形结合的方法去解决可能更快捷 如右图所示：,设G、H分别为AB、AD的中点，连接CG、CH，分别交AF、AE于点M、N，则M、N分别是ABC，ADC的重心，则|AM|= |AF| , |AN|= |AE|，所以 ，故 ， .,本题作为一道填空题，还可以用特殊法，即把此平行四边形看做正方形，放在平面直角坐标系中，通过向量的坐标运算来解决，不难得到正确答案.,