精选,1,第七节二次函数的综合应用,精选,2,考点一 线段、周长问题 例1 (2017东营中考)如图，直线y x 分别与x 轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物线 yax2bx 经过A，B两点,精选,3,(1)求A，B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点 H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,精选,4,【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标； (2)利用待定系数法可求得抛物线解析式； (3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,精选,5,【自主解答】 (1)直线y x 分别与x轴、y轴交 于B，C两点， 点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0， ) ACOBCO90，ACOCAO90， CAOBCO. AOCCOB90，AOCCOB，,精选,6, AO1， 点A的坐标为(1，0) (2)抛物线yax2bx经过A，B两点， 抛物线的解析式为y,精选,7,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30， 当MD取得最大值时，DMH的周长最大,精选,8,当x 时，MD有最大值 ， DMH周长的最大值为,精选,9,1如图所示，二次函数的图象经过点D(0， )，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6. (1)利用二次函数的对称性直接写出点A，B的坐标 (2)求二次函数的解析式 (3)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点 P的坐标,精选,10,(4)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存 在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由,精选,11,解：(1)A(1，0)，B(7，0) (2)设二次函数的解析式为ya(x1)(x7) 过点(0， )，代入得7a . 解得a ， 二次函数的解析式为y (x1)(x7),精选,12,(3)点A，B关于直线x4对称，PAPB，PAPDPB PDDB， DB与对称轴的交点即为所求点P. 如图，设直线x4与x轴交于点M. PMOD，BPMBDO. 又PBMDBO，,精选,13,BPMBDO， PM 点P的坐标为(4， ) (4)存在由(2)可得出点C的坐标为(4， ) AM3，在RtAMC中，tanACM ，ACM60. ACBC，ACB120.,精选,14,如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QNx轴于点N. 如果ABBQ， 由ACBABQ得BQ6，ABQACB120， 则QBN60， QN3 ，BN3，ON10， 此时点Q的坐标为(10，3 ),精选,15,如果ABAQ，由对称性知Q的坐标为(2，3 )， 经检验，点(10，3 )与(2，3 )都在抛物线上 当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是 (4， ) 综上所述，存在这样的点Q，使QAB与ABC相似，点Q的坐 标为(10，3 )或(2，3 )或(4， ),精选,16,考点二 图形面积问题 例2 (2017潍坊中考)如图，抛物线yax2bxc经过平 行四边形ABCD的顶点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，抛物 线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直 线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.,精选,17,(1)求抛物线的表达式； (2)当t为何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根； (3)是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值； 若不存在，说明理由,精选,18,【分析】 (1)由A，B，D三点的坐标，利用待定系数法可求 得抛物线的表达式；(2)由题意知l必过平行四边形ABCD的对 称中心，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直 线l的表达式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可 用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次 函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；,精选,19,(3)由题意可知有PAE90或APE90两种情况，分 别求得t的值即可 【自主解答】 (1)将点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入 yax2bxc得 抛物线的表达式为yx22x3.,精选,20,(2)直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分， l必过其对称中心( ， ) 由点A，D知，对称轴为x1，E(3，0)， 设直线l的表达式为ykxm，代入点( ， )和(3，0)得,精选,21,直线l的表达式为y x . 由 解得xF . 如图，作PHx轴，交l于点M，作FNPH. 点P的纵坐标为yPt22t3， 点M的纵坐标为yM t . PMyPyMt22t3 t t2 t .,精选,22,则SPFESPFMSPEM PMFN PMEH PM(FNEH) (t2 t )(3 ) 当t 时，PFE的面积最大，最大值的立方根为,精选,23,(3)由图可知PEA90. 若P1AE90，作P1Gy轴， OAOE，OAEOEA45， P1AGAP1G45，P1GAG， tt22t33， 即t2t0， 解得t1或t0(舍去),精选,24,若AP2E90，作P2Kx轴，AQP2K， 则P2KEAQP2， 即t2t10， 解得t 或t (舍去)， 综上可知，t1或t 时，存在点P使PAE为直角三角 形,精选,25,2(2018遂宁中考)如图，已知抛物线yax2 x4的 对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右 侧)，与y轴交于C点 (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C 重合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在， 请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,精选,26,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线 BC于点N，当MN3时，求M点的坐标,精选,27,解：(1)抛物线yax2 x4的对称轴是直线x3， 3，解得a ， 抛物线的解析式为y x2 x4. 当y0时， x2 x40， 解得x12，x28， 点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),精选,28,(2)当x0时，y x2 x44， 点C的坐标为(0，4) 设直线BC的解析式为ykxb(k0) 将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得 直线BC的解析式为y x4.,精选,29,假设存在，设点P的坐标为(x， x2 x4) 如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D， 则点D的坐标为(x， x4)， PD x2 x4( x4) x22x，,精选,30,SPBC PDOB 8( x22x)x28x (x4)216. 10， 当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16. 0 x8， 存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,精选,31,(3)设点M的坐标为(m， m2 m4)，则点N的坐标为 (m， m4)， MN| m2 m4( m4)| | m22m|. 又MN3，| m22m|3. 当0m8时，有 m22m30， 解得m12，m26，,精选,32,点M的坐标为(2，6)或(6，4) 当m0或m8时，有 m22m30， 解得m342 ，m442 ， 点M的坐标为(42 ， 1)或(42 ， 1) 综上所述，M点的坐标为(42 ， 1)，(2，6)，(6， 4)或(42 ， 1),精选,33,考点三 动点、存在点问题 例3 (2018潍坊中考)如图1，抛物线y1ax2 xc与x 轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0， )，抛物线y1的 顶点为G，GMx轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且 对称轴为直线l的抛物线y2. (1)求抛物线y2的表达式；,精选,34,(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使TAC是等腰三角形？ 若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线 y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的 三角形与AMG全等，求直线PR的表达式,精选,35,精选,36,【分析】 (1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T坐标，表示出TAC三边，进行分类讨论； (3)设出点P坐标，表示出Q，R坐标及PQ，QR，根据以P，Q， R为顶点的三角形与AMG全等，分类讨论对应边相等的可能 性即可 【自主解答】 (1)由题意知,精选,37,抛物线y1的表达式为y1 抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶点为B(1，0)， 抛物线y2的表达式为y2 (x1)2， 即y2 (2)抛物线y2的对称轴l为x1，设T(1，t) 已知A(3，0)，C(0， ),精选,38,如图，过点T作TEy轴于点E，则 TC2TE2CE2 TA2AB2TB2(13)2t2t216，AC2 . 当TCAC时，即 当TAAC时，得t216 ，无解；,精选,39,当TATC时，得 ，解得t3 . 综上可知，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，使TAC是等腰 三角形，此时T点的坐标为T1(1， )，T2(1， )， T3(1， ) (3)设P(m， )，则Q(m， ) Q，R关于x1对称，,精选,40,R(2m， ) 情况一：当点P在直线l的左侧时， PQ 1m， QR22m. 又以P，Q，R构成的三角形与AMG全等， 当PQGM且QRAM时，m0， 可求得P(0， )，即点P与点C重合，,精选,41,R(2， ) 设PR的表达式为ykxb， 则有 即PR的表达式为y x . 当PQAM且QRGM时，无解,精选,42,情况二：当点P在直线l右侧时， PQ QR2m2， 同理可得P(2， )，R(0， )， PR的表达式为y x . 综上所述，PR的表达式为y x 或y x .,精选,43,3(2018泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函 数yax2bxc交x轴于点A(4，0)，B(2，0)，交y轴于 点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE. (1)求二次函数的解析式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面 积的最大值；,精选,44,(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形， 若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理 由,精选,45,解：(1)由题意可得 二次函数的解析式为y x2 x6.,精选,46,(2)由A(4，0)，E(0，2)，可求得AE所在直线解析式为 y x2. 如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过 点E作EHDF，垂足为H.,精选,47,设D点坐标为(x0， x02 x06)，则F点坐标为(x0， x02)， 则DF x02 x06( x02) x02x08. 又SADESADFSEDF， SADE DFAG DFEH 4DF,精选,48,2( x02x08) (x0 )2 ， 当x0 时，ADE的面积取得最大值 . (3)P点的坐标为(1，1)，(1， )，(1， 2 ),精选,49,考点四 二次函数综合题 百变例题 (2018济宁中考)如图，已知抛物线yax2bx c(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；,精选,50,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q， P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若 不存在，请说明理由,精选,51,【分析】 (1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)， 再将点C坐标代入即可解得； (2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利 用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解 析式，联立求出M坐标即可； (3)存在以点B，C，