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函数专题之值域与最值问题一观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+(23x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出(23x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知(23x)0, 故3+(23x)3。 函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=x(0x5)的值域。(答案:值域为:0,1,2,3,4,5) 二反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/(y1),其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。(答案:函数的值域为yy1) 三配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=(x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由x2+x+20,可知函数的定义域为x1,2。此时x2+x+2=(x1/2)29/40,9/4 0x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x5154x的值域.(答案:值域为yy3) 四判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y2)x2(y2)x+(y-3)=0 () 当y2时,由=(y2)24(y2)x+(y3)0,解得:2x10/3 当y=2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数y=1/(2x23x+1)的值域。(答案:值域为y8或y0)。 五最值法 对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。 解:3x2+x+10,上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解,解之得1x3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1x3/2), z=-(x-2)2+4且x-1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=5;当x=3/2时,z=15/4。 函数z的值域为z5z15/4。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习:若x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( ) A(,) B7, C0,) D5,) (答案:D)。 六图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=x+1+(x-2)2 的值域。 点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 解:原函数化为 2x+1 (x1) y= 3 (-12) 它的图象如图所示。 显然函数值y3,所以,函数值域3,。 点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。 解:设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数,而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为y|y4/3。 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+4-x 的值域。(答案:y|y3) 八换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。 例2求函数y=x-3+2x+1 的值域。 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。 解:设t=2x+1 (t0),则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为y|y7/2。 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=x-1 x的值域。(答案:y|y3/4 九构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知,AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 原函数的知域为y|y5。 点评:对于形如函数y=x2+a (c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习:求函数y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。(答案:y|y52) 十比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。 例4已知x,yR,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=3/5时,x=3/5,y=4/5时,zmin=1。 函数的值域为z|z1. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。 练习:已知x,yR,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:f(x,y)|f(x,y)1) 十一利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。 1/(x+1)0,故y3。 函数y的值域为y3的一切实数。 点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。(答案:y2) 十二不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。 解:易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x), 由对数函数的定义知 x/(1-x)0 1-x0 解得,0x1或y0) 训练例题例1求下列函数的值域(1)(2)(3)(4) 例2已知,求的最值。例3求下列函数的值域(1)(2)(3)例4.如何求函数的最值?呢?例5求下列函数的值域(1)(2)(3)(4) 课后练习题一、 选择题题号12345678910111213答案1. 已知函数=,则()的值是A.9 B. C. -9 D. -2. 若集合,,则等于A0 B CS DT3. 下列函数中值域是(0,+)的函数是A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数的值域为,b,则的值域为A.,b B.+1,b+1 C.1,b1 D.无法确定5. 函数y =的定义域是(-,1)2,5,则其值域是 A.(-,0),2 B.(-,2) C.(-,)2,+ D.(0,+)6. 函数的值域为R,则实数k的取值范围是A
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