13.3数学归纳法 考纲要求1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_ (n0N*)时命题成立；,第一个值n0,(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,nk1,【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立() (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证 明() (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用(),(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项() (5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.() (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03. () 【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),【答案】 C,A1 B2 C3 D0 【解析】 凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n3. 【答案】 C,【答案】 D,【答案】 345n1,【方法规律】 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立 (2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标 (3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法,跟踪训练1 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*) 【证明】 (1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立； (2)假设当nk(kN*)时等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)， 那么当nk1时，,左边(k11)(k12)(k1k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)2 2k1135(2k1)(2k1)， 所以当nk1时等式也成立 由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立,【方法规律】 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法 (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明,有a2a3，即n1时成立 假设nk时，结论成立，即a2ka2k1. 由及f(x)在(，1上为减函数，得 a2k1f(a2k)f(a2k1)a2k2， a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1. 这就是说，当nk1时成立， 所以对一切nN*成立,【方法规律】 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题,跟踪训练3 (1)(2015江苏)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数 写出f(6)的值；,当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明 (2)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*) 求a1，a2； 猜想数列Sn的通项公式，并给出证明,【解析】 (1)Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1，2，3，4，5，6；若a2，则b1，2，4，6；若a3，则b1，3，6.所以f(6)13. 当n6时，,答题模板系列9 归纳猜想证明问题 【典例】 (12分)数列an满足Sn2nan(nN*) (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)证明(1)中的猜想 【思维点拨】 (1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4观察所得数值的特征猜出通项公式 (2)用数学归纳法证明,【答题模板】 归纳猜想证明问题的一般步骤 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论 第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0N*)成立 第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立 第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nN*成立,【温馨提醒】 解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难 (2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法,(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.,方法与技巧 1数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础 2归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：,(1)归纳假设就是已知条件； (2)在推证nk1时，必须用上归纳假设 3利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用,失误与防范 1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1； 2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.,