1 高中数学高中数学知识知识汇总汇总 1.1.集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 集 合 概念一组对象的全体.,xA xA。 元素特点元素特点：互异性、无序性、确定性。 关系 子集xAxBAB。A ； ,AB BCAC n个元素集合子集数2n。 真子集 00 ,xAxBxB xAAB 相等,AB BAAB 运算 交集|,xxBxBAA且 ()()() UUU CABC AC B ()()() UUU CABC AC B () UU CC AA 并集|,xxBxBAA或 补集| U x xUC AxA且 常 用 逻 辑 用 语 命题 概念能够判断真假的语句。 四种 命题 原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命 题互否；原命题与逆否命题、否命题与 逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。 逆命题：若q，则p 否命题：若p，则q 逆否命题：若q，则p 充要 条件 充分条件pq，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合 B， 则pq等价于AB，pq等 价于AB。 必要条件pq，q是p的必要条件 充要条件 pq，, p q互为充要条件 逻辑 连接词 或命题pq ，, p q有一为真即为真，, p q均为假时才为假。 类比集合的并 且命题pq，, p q均为真时才为真，, p q有一为假即为假。 类比集合的交 非命题p 和p为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补 量词 全称量词，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 存在量词，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 2.2.复数复数 复数 概念 虚数单位 规定： 2 1i ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、 乘运算律仍成立。 4414243 1,1,() kkkk iii iii k Z。 复数 形如( ,)abi a bR的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数 的虚部。0b 时叫虚数、0,0ab时叫纯虚数。 复数相等( , , ,),abicdi a b c dac bdR 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即zabi，则zabi。 运算 加减法()()()()abicdiacbd i，( , , ,)a b c d R。 乘法()()()()abi cdiacbdbcad i，( , , ,)a b c d R 除法 2222 , , ,()()(0,)a b c d acbdbcda abicdii cdi cdcd R 几何 意义 复数zabi 一一对应 复平面内的点( , )Z a b 一一对应 向量OZ 向量OZ 的模叫做复数的模， 22 zab 大多数复数问题，主要是把复数化成标准的zabi的类型来处理，若是分数形式 z= dic bia ，则首 先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数） ，在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独立的 字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把 i 2换成-1 2 3.3.平面向量平面向量 平平 面面 向向 量量 重 要 概 念 向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0 向量长度为0，方向任意的向量。 【0 与任一非零向量共线】 平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量夹角起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,。, a b 的夹角记为, a b 。 投影, a b ，cosb 叫做b 在a 方向上的投影。 【注意：投影是数量】 重 要 法 则 定 理 基本定理 12,e e 不共线，存在唯一的实数对( , ) ，使 12aee 。若1 2,e e 为, x y轴上 的单位正交向量，( , ) 就是向量a 的坐标。 一般表示坐标表示（向量坐标上下文理解） 共线条件 , a b （0b 共线存在唯一实数， ab 11221221 ( ,)(,)x yxyx yx y 垂直条件 0aba b 。1122 0 x yx y。 各 种 运 算 加法 运算 法则 ab 的平行四边形法则、三角形法则。 1212 (,)abxxyy 。 算律abba ，()()abcabc 与加法运算有同样的坐标表示。 减法 运算 法则 ab 的三角形法则。 1212 (,)abxxyy 分解 MNONOM 。 (,) NMNM MNxxyy 。 数乘 运算 概念 a 为向量，0与a 方向相同， 0与a 方向相反，aa 。 (,)axy 。 算律 aa)()(，aaa)(， baba )( 与数乘运算有同样的坐标表示。 数量 积运 算 概念cos,a baba b 1212 a bx xy y 。 主要 性质 2 a aa ，a bab 。 22 axy ， 2222 12121122 x xy yxyxy 算律 a bb a ，()ab ca cb c ， ()()()a baba b 。 与上面的数量积、数乘等具有同样 的坐标表示方法。 4.4.算法、推理与证明算法、推理与证明 圆的方程圆心半径 标准方程 x 2+ y2= r2 （0，0）r (x a) 2 + ( y b ) 2 = r 2 （a，b）r 一般方程x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 22 E , D FED4 2 1 22 3 算法 逻辑 结构 顺序结构 依次执行 程序框图，是一种用程序 框、流程线及文字说明来表 示算法的图形。 条件结构 根据条件是否成立有不同的流向 循环结构 按照一定条件反复执行某些步骤 基本 语句 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。 推理 与 证明 推理 合情推理 归纳推理 由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。 类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推 理。 演绎推理 根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理 数学 证明 直接证明 综合法由已知导向结论的证明方法。 分析法由结论反推已知的证明方法。 间接证明 主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。 数学 归纳 法 数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范 围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当 n 取第一个值 n0（例如 n0=1）时 结论正确； 然后假设当 n=k 0 (,)kNkn 时结论正确， 证明当 n=k+1 时结论也正确 5.5.不等式、线性规划不等式、线性规划 不等式的 性质 （1）abbcac，；两个实数的顺序关系： 0abab 0abab 0abab （2）00abcacbcabcacbc，；，； （3）abacbc； （4）abcdacbd，； 11 ab ab 的充要条件 是0ab 。 （5）00abcdacbd，； （6） * 01 nn nn abnnabab N，； 一元二次 不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根） ，再结合对 应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数 的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集 基本 不等式 2 ab ab （0,0ab） 2abab（,0a b ） ； 2 () 2 ab ab （, a bR） ； ba ab 2 ab 2 ba 2 22 ba （,0a b ） ； 22 2abab。 二元一次 不等式组 二元一次不等式0AxByC的解集是平面直角坐标系中表示0AxByC某一侧所 有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公 共部分。 6.6.计数原理与二项式定理计数原理与二项式定理 4 排排 列列 组组 合合 二二 项项 式式 定定 理理 基本 原理 分类加法 计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有 1 m种不同的方法，在第2类方案 中有 2 m种不同的方法，在第n类方案中有 n m种不同的方法那么完成这件 事共有 12n Nmmm种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有 2 m 种不同的方法做第n步有 n m种不同的方法.那么完成这件事共有 n mmmN 21 种不同的方法. 排列 定义 从n个不同元素中取出()m mn个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n 个不同元素中取出()m mn个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m mn个元素的排列数，用符号 m n A表示。 排列数 公式 ! (1)(2)(1)() ()! m n n An nnnmnmmn nm ，规定0! 1 组合 定义 从n个不同元素中， 任意取出()m mn个元素并成一组叫做从n个不同元素中取 出()m mn个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 ()m mn个元素的组合数，用符号Cm n 表示。 组合数 公式 (1)(1) C ! m n n nnm m ，C m m n n m m A A 性质 mn n m n CC (nmNnm且,)； 1 1 m n m n m n CCC(nmNnm且,) 二项 式定 理 定理 011 ()n nnrn rrnn nnnn abC aC abC abC b （ r n C叫做二项式系数） 通项公式 1 rn rr rn TC ab （其中0knkn NN，） 系数和 公式 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC； nn n r nnnn CCCCC2 210 ； 13502411231 2;232. nnn nnnnnnnnnn CCCCCCCCCnCn 7.7.函数基本初等函数函数基本初等函数 I I 的图像与性质的图像与性质 基本 初等 函数 指数函数 x ya 01a(,) 单调递减，0 x 时1y ，0 x 时01y 函数图象过 定点(0,1) 1a (,) 单调递增，0 x 时01y，0 x 时1y 对数函数 logayx 01a 在(0,)单调递减，01x时0y ，1x 时0y 函 数 图 象 过 定点(1,0) 1a 在(0,)单调递增，01x时0y ，1x 时0y 幂函数 yx 0 在在(0,)单调递增，图象过坐标原点 函 数 图 象 过 定点(1,1) 0在在(0,)单调递减 8.8. 函数与方程函数模型及其应用函数与方程函数模型及其应用 5 函数函数 零点零点 概念 方程( )0f x 的实数根。方程( )0f x 有实数根函数( )yf x的图象与x轴有交 点函数( )yf x有零点 存在定理图象在 , a b上连续不断，若( ) ( )0f a f b ，则( )yf x在( , )a b内存在零点。 二二 分分 法法 方法 对于在区间, a b上连续不断且 0f af b的函数 yf x，通过不断把函数 f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近 似值的方法叫做二分法 步骤 第一步确定区间, a b，验证( )( )0f af b，给定精确度。 第二步求区间, a b的中点c； 第三步 计算 f c：（1） 若 0f c ， 则c就是函数的零点；（2） 若 0f af c， 则令bc（此时零点 0 ,xa c） ； （3） 若 0f cf b， 则令ac（此 时零点 0 ,xc b） （4 4）判断是否达到精确度:即若ab，则得到零 点近似值a（或b） ；否则重复（2）（4） 函数函数 建模建模 概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函