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第十一讲 导数在研究函数中的应用知识要点1. 求函数的单调性: 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数在区间可导, (1)如果恒,则函数在区间上为增函数; (2)如果恒,则函数在区间上为减函数; (3)如果恒,则函数在区间上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤:求函数的定义域;求导数;解不等式,解集在定义域的不间断区间为增区间;解不等式,解集在定义域的不间断区间为减区间。反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值围):设函数在区间可导,(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间);(2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间);(3) 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。2. 求函数的极值: 函数的极值的定义: 设函数在及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有(或),则称是函数的极小值(或极大值)。求函数单调性步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)求方程的全部实根,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x变化时,和值的变化情况:x正0负负0负增极大值减减极小值减 (4)检查的符号并由表格判断极值。左正右负极大;左负右正极小3. 求函数的最大值与最小值: 函数最大值与最小值定义:如果函数在定义域I存在,使得对任意的,总有,则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域极值不一定唯一,但在定义域的最值是唯一的。求函数在区间上的最大值和最小值的步骤: (1)求在区间上的极值; (2)将第一步中求得的极值与比较,得到在区间上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题:(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。的值域是闭区间时,不等式恒成立的充要条件是,;不等式恒成立的充要条件是。的值域是开区间时,不等式恒成立的充要条件是;不等式恒成立的充要条件是。(2)证明不等式可转化为证明,或利用函数的单调性,转化为证明。典例精析例1.求下列函数的导数(1) (2) (3) 例2已知函数,求函数的单调区间;求函数的极值,并画出函数的草图;当时,求函数的最大值与最小值.例3讨论函数y=x2sinx在(0,2)的单调性.例4已知函数 (I)当的单调区间和极值; (II)若函数在1,4上是减函数,数a的取值围。例5.(1)(市2016届高三1月调研)已知定义在上的函数满足:函数的图象关于直线对称,且当(是函数的导函数)成立, 若,,则的大小关系是( ) A B C D (2). 已知函数是定义在R上的奇函数,则不等式的解集是 例6.(05理)已知向量=(,),=(,),若在区间(-1,1)上是增函数,求的取值围. 例7. 已知函数存在单调减区间求的取值围。例8.已知f(x)xln x,g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t,t2(t0)上的最小值;(2)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,数a的取值围;(3)证明:对一切x(0,),都有ln x成立例9.已知f(x)ax2 (aR),g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性;(2)若方程f(x)g(x)在区间,e上有两个不等解,求a的取值围例10. 已知函数为自然对数的底数)(1)求的单调区间,若有最值,请求出最值;(2)是否存在正常数,使的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。参考答案例1.(1) (2) (3) 例2解:由,得,函数单调递增;同理,或函数单调递减.由得下表:0+0单调递减极小值f(-2)单调递增极大值f(2)单调递减极小值=-16,极大值=16.由f(-x)=-f(x),知f(x)是奇函数,得草图如图所示:结合及,得下表:0+端点函数值f(-3)=-9单调递减极小值f(-2)=-16单调递增端点函数值f(1)=11比较端点函数及极值点的函数值,得极小值=f(-2)=-16,例3解: y=12cosx, x(0, 2),由y0,得x, 即y=f(x)在(,)是单调递增;同理,由y0,得0x或x0,得f(x)ln x1,令f(x)0,得x.当x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增当0tt2,即0t时,f(x)minf();当t0),则h(x),当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,所以ah(x)min4.(3)证明问题等价于证明xln x(x(0,)由(1)可知f(x)xln x(x(0,)的最小值是,当且仅当x时取到,设m(x)(x(0,),则m(x),易知m(x)maxm(1),当且仅当x1时取到从而对一切x(0,),都有ln x成立例9.解(1)F(x)ax22ln x,其定义域为(0,),所以F(x)2ax (x0)当a0时,由ax210,得x.由ax210,得0x0时,F(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减当a0时,F(x)0)恒成立故当a0时,F(x)在(0,)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间,e上有两个不等解由(x)易知,(x)在(,)上为增函数,在(,e)上为减函数,则(x)max(),而(e)()所以(x)min(e),如图可知(x)a有两个不等解时需a.即f(x)g(x)在,e上有两个不等解时a的取值围为a.例10. 解:(1)当恒成立上是增函数,F只有一个单调递增区间(0,-),没有最值3分当时,若,则上单调递减;若,则上单调递增,时,有极小值,也是最小值,即6分所以当时,的单调递减区间为单调递增区间为,最小值为,无最大值7分 (2)方法一,若与的图象有且只有一个公共点,则方程有且只有一解,所以函数有且只有一个零点8分来源:学_科_网由(1)的结论可知10分此时, 的图象的唯一公共点坐标为又的图象在点处有共同的切线,其方程为,即13分综上所述,存在,使的图象有且只有一个公共点,且在该点处的公切线方程为14分方法二:设图象的公共点坐标为,根据题意得高考资源网高考高考¥资%源网资源网即由得,代入得 从而10分此时由(1)可知 时,因此除外,再没有其它,使13分 故存在,使的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线,易求得公共点坐标为,公切线方程为14分
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