1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？,.圆心与半径,2、叙述角平分线的性质与判定,性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。,3、下图中ABC与圆O的关系？,ABC是圆O的内接三角形； 圆O是ABC的外接圆 圆心O点叫ABC的外心,知识回顾,或.不在同一直线上的三点,A,B,C,O,如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如,三角形的内切圆,O,r,思考下列问题：,1如图，若O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？,圆心0在ABC的平分线上。,2如图2，如果O与ABC的内角ABC的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么此O的圆心在什么位置？,圆心0在BAC,ABC与ACB的三个角的角平分线的交点上。,O,M,A,B,C,N,探究：三角形内切圆的作法,作法：,A,B,C,1、作B、C的平分线 BM和CN，交点为I。,I,2过点I作IDBC，垂足为D。,3以I为圆心，ID为 半径作I. I就是所求的圆。,M,N,试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗?,这样的圆可以作出几个?为什么?.,直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到ABC三边的距离相等(为什么?),因此和ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.,三角形与圆的位置关系,三角形与圆的位置关系,这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.,老师提示: 多边形的边与圆的位置关系称为切.,定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。,1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；,性质：,O,r,2.三角形的内心在三角形的角平分线上；,内 心（三角形内切圆的圆心）,三角形三边中垂线的交点,三角形三条 角平分线的 交点,(1)OA=OB=OC (2)外心不一定在三角形的内部,（1）到三边的距离相等； （2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； （3）内心在三角形内部,外 心 (三角形 外接圆的 圆心),定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 ，这个 多边形叫做 。,多边形的内切 圆,圆的外切多边形,内切,外切,如上图，四边形DEFG是O的 四边形， O是四边形DEFG的 圆，,思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？,(菱形，正方形一定有内切圆),1.如图1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圆， 点O叫ABC的 ， 它是三角形 的交点。,外接,内接,外心,三边中垂线,2.如图2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圆， 点I是 DEF的 心， 它是三角形 的交点。,外切,内切,内,三条角平分线,3. 三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在三角形的_.,1,无数,内部,探讨1： (1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆. (2)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形. (3)任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆. (4)任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形 正确说法有_,(1),(3),明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,如图,在ABC中,A=68,点I是内心,求BIC的度数,老师提示：若点I是外心呢？,（2）若A=80 ，则BOC = 度。 （3）若BOC=100 ，则A = 度。,解:,130,20,（1）点O是ABC的内心，, BOC=180 (1 3),= 180 (25 35 ),=120 ,同理 3= 4= ACB= 70 =35 , 1= 2= ABC= 50= 25,理由： 点O是ABC的内心，, 1 3 = （ABC+ ACB）, 1= ABC， 3= ACB,= 180 （ 90 A ）,= （180 A ）,= 90 + A,= 90 A,答： BOC =90 + A,（4）试探索： A与BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。,在OBC中，,BOC =180 （ 1 3 ）,例2 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,已知：在ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。,A,B,C,F,D,E,x,x,13-x,13-x,9-x,9-x,(13-x)+(9-x)=14,解得x=4,AF=4，BD=9，CE=5,1. ABC 的内切圆O 与AB 、 BC 、 AC分别相切于点D、E、F，且AB5厘米，BC9厘米，AC6厘米，则AD=_,BE=_,CF=_.,1厘米,4厘米,5厘米,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S， 则ABC的内切圆的半径 r,结论,探究,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,.,A,B,C,直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为_。,O,2cm,在ABC中，C=90，BC=3，AC=4.求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.,B,解：如图：由勾股定理可得：,O,外接圆半径R=2.5,由我们推导的三角形的面积公式可知：,解得：r=1,r,小结： 三角形的内切圆 （1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心 （2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点 （3）三角形内心到三边的距离相等 （4）三角形面积 （C为三角形周长，r为内切圆半径）,(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与 各边长 a、b、c的关系是,2、菱形ABCD中，周长为40，ABC=120，则内切圆的半径为（ ）,（A） （B） （C） （D）,3、如图，O是ABC的内切圆， D、E、F是切点，A=50，C=60， 则DOE=（ ）,（A）70 （B）110 （C）120 （D）130,（A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形,1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）,B,B,4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）,（A）1 （B）12 （C）1 2 （D）123,5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）,（A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形,D,C,6.已知：ABC的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点D、E、F，DIE=120,EIF=130.求ABC的三个内角的度数.,7.如图，ABC中，E是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D. 求证：DEDB,1,2,3,4,5,DE = AE DF .,F,