1 高等数学知识在经济学中的应用举例高等数学知识在经济学中的应用举例 由于现代化生产发展的需要， 经济学中定量分析有了长足的进步， 数学的一些分支如数 学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量 学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客 观经济过程的数量规律， 以便用来知道客观经济实践。 应用数量经济学研究客观经济现象的 关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。 这里我们简单介 绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。 一、复利与贴现问题 1、复利公式 货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利 息以“期” ，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款 额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。 如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计 息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并 以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利” 。 下面推出按福利计息方法的复利公式。 现有本金 A0，年利率 r=p%，若以复利计息，t 年末 A0将增值到 At，试计算 At。 若以年为一期计算利息： 一年末的本利和为 A1=A0（1+r） 二年末的本利和为 A2=A0（1+r）+A0（1+r）r= A0（1+r）2 类推，t 年末的本利和为 At= A0（1+r）t （1） 若把一年均分成 m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是，容易推得 r m （2） 0(1 )mt t r AA m 公式（1）和（2）是按离散情况计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数 有限推得的计算 At的复利公式。 若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数，这时，由于m 000 lim(1)lim(1) m mtrtrt r mm rr AAA e mm 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是 0 rt t AA e 例例 1 A0100 元，r=8%，t1，则 2 一年计息 1 期 1 100 (10.08)108()A 元 一年计息 2 期 2 1 0.08 100 (1)108.16() 2 A 元 一年计息 4 期 4 1 0.08 100 (1)108.243() 4 A 元 一年计息 12 期 12 1 0.08 100 (1)108.300() 12 A 元 一年计息 100 期 100 1 0.08 100 (1)108.325() 100 A 元 连续复利计息 0.08 1 100108.329()Ae元 2、实利率与虚利率2、实利率与虚利率 由例 1 知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率 为 8， 一年计息 1 期， 确实按 8计算利息； 一年计息 2 期， 实际上所得利息是按 8.16计 算的结果 ； 一年计息 4 期， 实际上所得利息是按 8.243计算； 一年计息 12 期， 实际上是按 8. 3 计算；一年计息 100 次，实际所得利息是按 8.325 计算利息。 这样，对于年期以下的复利，我们称年利率 8为虚利率或名义利率，而实际计算利息 之利率称为实利率。如 8.16为一年复利 2 期的实利率，8.3为一年复利 12 期的实利率， 8.329为一年连续复利的实利率。 记 r 为名义年利率， rm为一年计息 m 期的实利率， 本金 A0， 按名义利率一年计息 m 期， 一年末将增值到 A0（1+）m，按实利率计息，一年末将增值到 A0（1+rm） 。于是，有 r m 1+rm（1+）m，即是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。 r m (1)1 m m r r m 若记 rm为连续复利的实利率，由于 lim(1)m r m r e m 所以，实利率与虚利率之间的关系为。1 r m re 3、数 e 的经济解释3、数 e 的经济解释 设年利率为 100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为 )() 1 1 (lim元e m m m 这就是说，按名义利率 100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到 e 元。这可作为 数 e 的经济解释。 3 由于，所以，这是的实利率大约为 172。71828 . 2 e 4、贴现问题4、贴现问题 我们已经知道，初时本金 A0，年利率 r，t 年末的本利和 At，以年为期的复利公式是 ，一年均分为 m 期的复利公式是 ，连续复利公式是 t t rAA)1 ( 0 mt t m r AA)1 ( 0 。 rt t eAA 0 若称 A0为现在之，At为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，若已知 未来值 At求现在值 A0，则称贴现问题，这时利率 r 称为贴现率。 由复利公式，容易推得： 离散的贴现公式为 t t rAA )1 ( 0 mt t m r AA )1 ( 0 连续的贴现公式为 rt te AA 0 例例 2 设年利率为 6.5，按连续复利计算，现投资多少元，16 年之末可得 1200 元。 这里，贴现率 r=6.5，未来值 At=1200，t=16。所以，现在值 （元）15.424 8292 . 2 12001200 1200 04 . 1 16065 . 0 0 e eeAA rt t 增长率增长率 设变量 y 是时间 t 的函数 y = f (t)，则比值 )( )()( tf tfttf 为函数 f (t)在时间区间上的相对改变量；如果 f (t)可微，则定义极限,ttt )( )( )( )()( lim 0 tf tf tft tfttf t 为函数 f (t)在时间点 t 的瞬时增长率。 对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点 t rt eAy 0 r eA reA y dtdy rt rt 0 0 上都以常数比率 r 增长。 这样，关系式 （*） rt t eAA 0 4 就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人 口、 劳动力等这些变量都是时间 t 的函数， 若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长， 都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任 rt eA0 意时刻点 t 的增长率。 如果当函数中的 r 取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称 r 为 rt eA0 衰减率。贴现问题就是负增长。 例例 3 某国现有劳动力两千万，预计在今后的 50 年内劳动力每年增长 2%，问按预计在 2056 年将有多少劳动力。 由于未来值 A0=2000，r=0.02，t=50，所以，50 年后将有劳动力 （万）56.543671828 . 2 20002000 5002 . 0 50 eA 例例 4 某机械设备折旧率为每年 5，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。 若原价值为 A0，经 t 年后，价值为，这里 r=-0.05。由，若取 0 2 1 A t eAA 05 . 0 00 2 1 ，易算出 t=13.86（年） ，即大约经过 13.86 年，机械设备的价值是原价值的一6931. 02ln 半。 二、级数应用举例二、级数应用举例 1、银行通过存款和放款“创造”货币问题1、银行通过存款和放款“创造”货币问题 商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保留规定数额的法定准备金，其余部分才 能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保 留法定准备金，其余部分作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造”货 币。 设 R 表示最初存款，D 表示存款总额（即最初存款“创造”的货币总额） ，r 表示法定 准备金占存款的比例，ru，每单位时间内净增加存货为 P-u，到时刻 t1终了库存出现一个顶点，这 时，库存量为 t1(P-u)。 由于经历时间 t1到货总量为 Q，因此，从而最大库存量为 1 Q t P ()(1) Qu PuQ PP 这种库存模型的库存水平变动情况如图 3 所示。 11 T（时间） 图 3 Q（库存水平） O ttt t1(P-u) 平均库存水平 t1t1t1 这样， 在一个计划期内， 平均库存量应为最大库存量之半， 因而库存费为。 1 (1) 2 C Qu P 本问题中，因为生产准备费或订购费与“成批到货，不许短缺”库存模型一样，因此， 存货总费用 E 与每批数量 Q 的函数关系，即目标函数是 12 ( )(1),(0,(5) 2 C QuC D EE QxD PQ 为决策变量 Q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量 * 2 1 21 (6) 1 DC Q Cu P 这时，库存总费用的最小值 * 12 11(7) u EDC C P 最优批量 Q*的表达式（6）也可由下式得到： 12 (1) 2 C QuC D PQ 例例 2 同例 1，但产品陆续存入仓库，每月到货 200 台，试确定经济批量和最佳费用。 解 已知条件是： 12 10001605000/DCCPu 1000 台，台，元；200台/ 月,台 月 12 由（5） （6） （7）可得经济批量为 327.3 台，这时最佳费用为 30550 元。 （三）成批到货，允许短缺的模型（三）成批到货，允许短缺的模型 前面讨论的两个库存模型是不允许缺货。允许缺货是指，缺货时未能满足的需求，在 12 下一批货物到货时要予以满足， 而且缺货时的需求直接输出而不经过库存。 其它情况同模型 一。 如果缺货带来的损失很小， 且不会因暂时缺货而失去销售机会， 缺货现象是允许存在的。 允许缺货情况，库存水平变动情况见图 4。图中的 t 是一个存贮循环延续时间，从前一 批到货至库存量减少为 0 的时间为 t1，从库存是 0 至下一批货物到达的时间为 t2。 Q（库存水平） 批 量 Q O t2 tt 最高库存水平 T（时间） 图 4 t2t1t1 B QB 这里尚需补充假设 B：库存得到补充之前的允许缺货量； C3：在一个计划期内，缺一件产品的损失费。 需要注意的是每批投产或每次订购的数量 Q 包括了最大的允许缺货量 B。 本库存模型中，生产准备费与订购费与前面模型相同： 2 C D Q 库存费：因有货时间 t1占一个存贮循环时间的比率为，所以，在一个机会期内，有 1 t t 货时间所占比率也为。有货时，最大库存量为 Q-B，从而平均库存量为，由图 4 1 t t2 QB 中 相似三角形易知 1 tQB tQ 因此，在一个计划期内，库存费为 2 111 ()() 22 tC QBC QB tQ 缺货费：在缺货时间 t2占一个存贮循环时间的比率为，在一个计划期内，缺货总时 2 t t 13 间所占比例也为。最大缺货量为 B，因此，平均缺货量为，由图 4 的相似三角形得知 2 t t2 B 。因此，在一个计划期内，缺货量为. 2 tB tQ 2 323 22 C B tC B tQ 综上，在一个计划期内，库存总费用 22 213 () ,(8) 22 C DC QBC B E QQQ 或写作 2 2113 1 () ,(8 ) 22 C DC QCC B EC B QQ 这是该问题的目标函数。 现在的问题是决策两个变量 Q 和 B，以使目标函数取极小值。 根据（8）式，由二元函数极值存在的必要条件，有 2 2113 22 113 () 0 22 ()0 EC DCCC B QQQ EB CCC BQ 解该方程组，可得 * 213 13 2 (9) DCCC Q CC * 121 13313 2 (10) CDC