绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B. 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB （A）2（B）2，3（C）-1，2，3（D）1，2，3，4 （2）设变量 x，y 满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则目标函数4zxy 的最大值为 （A）2（B）3（C）5 （D）6 （3）设xR，则“05x”是“|1| 1x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 （A）5（B）8（C）24 （D）29 （5）已知 0.2 23 log 7,log 8,0.3abc，则 a，b，c 的大小关系为 （A）cba（B）abc （c）bca（D）cab （6）已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别 交于点 A 和点 B，且| 4|ABOF（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2（D） 5 （7）已知函数( )sin()(0,0,| )f xAxA是奇函数，且 f x的最小正周期为，将 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x. 若2 4 g ，则 3 8 f （A）-2（B） 2 （C） 2 （D）2 （8）已知函数 2,01, ( ) 1 ,1. xx f x x x 若关于 x 的方程 1 ( )() 4 f xxa a R恰有两个互异的实数解， 则 a 的取值范围为 （A） 5 9 , 4 4 （B） 5 9 , 4 4 （C） 5 9 ,1 4 4 （D） 5 9 ,1 4 4 绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第卷 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （9）i 是虚数单位，则 5i 1i 的值为_. （10）设xR，使不等式 2 320 xx 成立的 x 的取值范围为_. （11）曲线cos 2 x yx在点(0,1)处的切线方程为_. （12）已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_. （13）设0,0,24xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_. （14）在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点 E 在线段CB的延长线上， 且AEBE，则BD AE _. 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题满分 13 分） 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用 分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为, , , , , A B C D E F.享受 情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. 员工 项目 ABCDEF 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率. （16）（本小题满分 13 分） 在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 的值. （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC 平 面PCD，,2,3PACD CDAD. （）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面PAD； （）求证：PA 平面PCD； （）求直线 AD 与平面PAC所成角的正弦值. （18）（本小题满分 13 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列，公比大于 0，已知 112332 3,43abba ba. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 2 1 n n n c bn ， 为奇数, ， 为偶数.求 * 1 12222 () nn a ca ca cnN. （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已知3 | 2|OAOB（O 为 原点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点 F 且斜率为 3 4 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切， 圆心 C 在直线 x=4 上，且OCAP，求椭圆的方程. （20）（本小题满分 14 分） 设函数( )ln(1)e x f xxa x，其中aR. （）若 a0，讨论( )f x的单调性； （）若 1 0 e a， （i）证明( )f x恰有两个零点； （ii）设 0 x为( )f x的极值点， 1 x为( )f x的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 绝密启用前绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分. （1）D（2）C（3）B（4）B （5）A（6）D（7）C（8）D 二填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分. （9）13（10） 2 1, 3 （11）+2 2=0 xy （12） 4 （13） 9 2 （14）1 三.解答题 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分. 解： （）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员 工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人. （） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 , , , , , , , , , , , ,A BA CA DA EA FB C , , , , , , , , ,B DB EB FC DC E ,C F , , , ,D ED FE F，共 15 种. （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A BA DA EA FB DBCEB FEC FD FE F，共 11 种. 所以，事件 M 发生的概率 11 () 15 P M . （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分 13 分. （）解：在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC， 得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到 4 3 ba， 2 3 ca.由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa . （ ） 解 ： 由 （ ） 可 得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从 而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB ，故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB . （17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分 13 分. （） 证明： 连接BD， 易知ACBDH，BHDH.又由BG= PG， 故GH PD.又因为GH 平面 PAD，PD 平面 PAD，所以GH平面 PAD. （） 证明： 取棱 PC 的中点 N， 连接 DN.依题意， 得 DNPC， 又因为平面PAC 平面 PCD， 平面PAC 平面PCDPC，所以DN 平面 PAC，又PA平面 PAC，故DNPA.又已知PACD， CDDND，所以PA 平面 PCD. （）解：连接 AN，由（）中DN 平面 PAC，可知DAN为直线AD与平面 PAC 所成的角， 因为PCD为等边三角形，CD=2 且 N 为 PC 的中点，所以 3DN .又DNAN， 在RtAND中， 3 sin 3 DN DAN AD . 所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 . （18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分 13 分. （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q.依题意，得 2 332 , 3154 , qd qd 解得 3, 3, d q 故 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb . 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3n n b . （）解： 1 12222nn a ca ca c 135212 14 26 32nn n aaaaa ba ba ba b 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn 212 36 1 32 33nnn . 记 12 1 32 33n n Tn , 则 231 31 32 33n n Tn , 得， 1 2311 3 1 3 (21)33 233333 1 3