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由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式,求取其通项公式是数列中一类常见的题型,这类题型如果单纯的看某一个具体的题目,它的求解方法灵活是灵活多变的,构造的技巧性也很强,但是此类题目也有很强的规律性,存在着解决问题的通法,本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结,方便于学生学习和老师的教学,不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、型数列,(其中不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法,具体做法是将通项变形为,从而就有 将上述个式子累加,变成,进而求解。例1. 在数列中,解:依题意有逐项累加有,从而。注:在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习:已知满足,求的通项公式。二、型数列,(其中不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法,具体做法是将通项变形为,从而就有将上述个式子累乘,变成,进而求解。例2. 已知数列中,求数列的通项公式。解:当时,将这个式子累乘,得到,从而,当时,所以。注:在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式:在数列中, 0,求.提示:依题意分解因式可得,而0,所以,即。三、型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解,构造的办法有两种,一是待定系数法构造,设,展开整理,比较系数有,所以,所以是等比数列,公比为,首项为。二是用作差法直接构造,,,两式相减有,所以是公比为的等比数列。例3. 在数列中,当时,有,求的通项公式。解法1:设,即有对比,得,于是得,即所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列则。解法2:由已知递推式,得, 上述两式相减,得,即因此,数列是以为首项,以3为公比的等比数列。所以,即,所以。变式练习:已知数列满足求数列的通项公式.注:根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四、型数列(p为常数)此类数列可变形为,则可用累加法求出,由此求得.例4已知数列满足,求. 解:将已知递推式两边同除以得,设,故有,,从而.注:通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若为的一次函数,则加上关于的一次函数构成一个等比数列; 若为的二次函数, 则加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5已知数列满足解:作,则,代入已知递推式中得:.令这时且显然,所以.注:通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.变式练习:(1)已知满足,求。 (2)已知数列,表示其前项和,若满足,求数列 的通项公式。提示:(2)中利用,把已知条件转化成递推式。五、型数列(为非零常数)这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6已知数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以,故有。变式练习:数列中,求的通项。六、型数列(为常数)这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7数列中,且,求.
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