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2016届省格致中学校高二第一学期期中考试数学试卷注意事项:1、答题前,考生先将自己的、填写清楚。2、请将条码粘贴在右侧的条码粘贴处的方框3、选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写,字体工整4、请按题号顺序在各题的答题区作答,超出围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。5.本卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟第I卷 (选择题 共60分)一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一项是符合题目要求的)1已知,则( )A B C D2.已知命题:函数的最小正周期为;命题:若函数为偶函数,则关于对称.则下列命题是真命题的是( )AB C D3已知是自然对数的底数,函数的零点为,函数的零点为,则下列不等式成立的是( )A BC D4已知数列是等差数列,且,则在的展开式中,项的系数是( )A B C D5设,则与的大小关系为( )A B C D6若函数在其定义域的一个子区间不是单调函数,则实数的取值围是()ABC D7若,则的最小值为( )A B C D8由直线及曲线围成的封闭图形的面积为( )A B C D 9现有种不同品牌的小车各辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在个车库中且每个车库放辆,则恰有个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )A种 B种 C种 D种 10甲罐中有个红球,个白球和个黑球,乙罐中有个红球,个白球和个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是(); ;事件与事件相互独立;是两两互斥的事件;A B C D11如右图所示是二次函数的部分图像,则函数的零点所在的区间是( )A B C D12.已知函数,记,则,的大小关系为( )A B C D第II卷 (非选择题 共90分)二填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上.)13.计算定积分 ;14.若为直角三角形的三边,其中为斜边,则,称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中:在四面体中,,为顶点所对面的面积,分别为侧面的面积,则满足的关系式为 ;15若存在实数使成立,则的取值围是 ;16已知函数的定义域是,若对任意,则不等式的解集为 三解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设函数且的最小值为.(1)求的值;(2)若求满足条件的的集合.18(本小题满分12分)已知数列an满足a12,且anan1an12an0(nN*)(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法加以证明19(本小题满分12分)甲乙两人比赛投篮,每人连续投次,投中次数多者为胜,若甲前次每次投中的概率都是,第次投中的概率是;乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独立.(1)求乙直到第次才投中的概率;(2)在比赛前,从胜负的角度考虑,你支持谁?请说明理由.20(本小题满分12分)甲、乙等五名大运会志愿者被随机分配到、四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时在岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率;(3)设随机变量为这五名志愿者中在岗位服务的人数,求的分布列.21(本小题满分12分)设函数(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,设函数,若对于,使成立,数的取值围22(本小题满分12分)(1)已知为实数,并且,其中是自然对数的底,证明(2)如果正实数满足,且,证明数学答案(理科)一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案BBCBCDADCABC二填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上.)13. 14. 15. 16.三解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)解:(1) 3分当且仅当时,等号成立4分依题意,5分(2), 7分或或9分所以不等式的解集为10分18. (本小题满分12分)解:(1)由题意得an1,又a12,a2,a3,a4 .4分(2)猜想an. .6分证明:当n1时,2a1,故命题成立假设nk时命题成立,即ak,ak1,故命题成立综上,由知,对一切nN*有an成立.12分19. (本小题满分12分)解:()记事件:乙第i次投中(i=1,2,3),则,事件相互独立,所以(乙直到第次才投中)分()设甲投中的次数为,乙投中的次数为,则(),所以,乙投中次数的数学期望()分的可能取值是,甲前次投中次数服从二项分布(),且每次投中与否相互独立,所以.分,分,分分所以,甲投中次数的数学期望分所以()()所以在比赛前,从比赛的胜负角度考虑,应支持乙.分20. (本小题满分12分)解:(1)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么 .4分即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是。(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么 .8分所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是。(3)随机变量可能取的值为1,2 .9分事件“”是指有两人同时参加岗位服务则 .10分所以 .11分的分布列。. 12分21. (本小题满分12分)解:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=a (1)当a=1时,f(x)=lnxx1,f(1)=2,f(x)=1,f(1)=0f(x)在x=1处的切线方程为y=24分(2)当a=时,f(x)=当0x1,或x2时,f(x)0; 当1x2时,f(x)0所以,函数f(x)的单调增区间为(1,2);单调减区间为(0,1),(2,+)当a=时,函数f(x)在(1,2)上为增函数,函数f(x)在1,2上的最小值为f(1)=7分若对于x11,2,x20,1,使f(x1)g(x2)成立,则g(x)在0,1上的最小值不大于f(x)在1,2上的最小值(*)8分 又g(x)=x22bx=(xb)2b2,x0,1,当b0时,g(x)在0,1上为增函数,g(x)min=g(0)=与(*)矛盾9分 当0b1时,g(x)min=g(b)=b2,由b2及0b1,得,b1;10分 当b1时,g(x)在0,1上为减函数,g(x)min=g(1)=2b及b1得b111分综上,b的取值围是,+)12分22(本小题满分12分)证明:()由()因为在(0,1)f(x)0,所以f(x)在(0,1)是增函数.(反证法)假设由,所以,从而,由及,可推出,所以由,假如,则根据f(x)在(,)是增函数,若.则从而;若,则,从而即时与已知矛盾因此a=b
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