一、微分的概念,实际工作中，常要计算y=f (x+ x)f (x).,f (x)的表达式复杂时, y的计算也较复杂, 不好算.,但当,要找y的近似公式.,这一近似公式应满足(i),好算, (ii)具有起码的精度.,34 微分与差分,例1. 一正方形金属薄片受温度影响, 其边长由x0变到x0+x, 求此薄片面积改变了多少？,解：如图,因此,面积的改变量为,当正方形边长为x时,面积A=x2.,1. 定义. 设y=f (x)在 x0 的某邻域U(x0)内有定义.,如果 y = f (x0+ x)f (x0)可表示成,y = A x+o ( x),其中A为只与x0有关而与x无关的常数. 则称,y=f (x)在点x0处可微.,称A x 为f (x)在x0点相应于, x 的微分. 记作d y，即dy = A x,注1. 若y=f (x)在x0可微，则微分d y= A x是x的线性函数.,另外, 当A0, x0时, y dy.,这是因为,注2. 当y = f (x)在x0可微时，ydy = o(x),(x0),(x0),2. 可微与可导的关系,定理1. y=f (x)在x0可微的充要条件是y=f (x)在x0可导. 且当y在x0可微时. dy=f (x0)x.,证： 必要性. 若y=f (x)在x0可微.,由定义,y=A x+o ( x),从而,故 y = f (x)在x0可导.,且,即,充分性，若y=f (x)在x0可导.,故,或,由于,故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f (x0)x.,定理1告诉我们，对于一元函数y=f (x)而言,可微与可导是等价的.,3. 若y=f (x)在(a, b)内每一点处均可微(可导),则称f (x)在(a, b)内可微.这时, 对x(a, b), 有dy=f (x)x, 称为函数y(在x点)的微分. dy=f (x)x是一个既与x又x与有关的量. 这里x 与x是独立变化的.,4. 记dx=x. 称为自变量x的微分.,即, 自变量x的微分就等于自变量的增量.,上述定义是合理的.,例2. 设y=x，求y的微分dy=dx.,解： dy = f (x)x=(x) x=x,即 dx = x,由于有3、4中记号，从而dy = f (x)dx.,同除以dx, 及,即 函数的导数就等于函数的微分与自变量的微分之比.,5. 微分的几何意义,如图,过M作切线MT, 倾角为,给x=dx0. 得点x0+ x,以及点N, P, Q.,由导数的几何意义,同乘以x=dx, 得 dy=PQ.,y = NQ 表示曲线y = f (x)上纵坐标的增量，,dy =PQ 表示切线MT 上纵坐标的增量,ydy = NP= o(x),在PMQ中, MQ=dx, PQ=dy.,而,二、微分公式及运算法则,由于dy=f (x)dx. 因此，微分公式及运算法则与导数公式及运算法则完全类似.如 (sinx)=cosx.从而d(sinx)=cosxdx. 等等.,1. 四则运算法则：设u = u(x), v = v(x)均可微.,则,2. 复合函数的微分,我们知道当x为自变量时, 有dy=f (x)d x.,若y=f (u), u不是自变量, 是否仍然有dy=f (u)du?,设u= (x), 在x点可导, 而y=f (u)在相应的点u=(x)处可导. 求复合函数 y=f (x)的微分.,从而,即,可见，不论u是自变量还是中间变量, 总有,这一性质，称为一阶微分形式的,不变性.,由于复合函数y 的导数,例3. 设y = sin(2x+x2), 求dy.,解：,例4. 设y = e3vcos2v. 求dy.,解：不论v是否为自变量, 由一阶微分形式不变性.,有,例5. 设,x =acos t,y =a sin t, 求,解： dx = d(acost),dy = d(asint),从而,= ad(cost),= asintdt,= acostdt,= ad(sint),例6. 填入适当的函数，使等式成立,(1) d( )= xdx,(2) d( )= exdx,(4) d( )= sinxdx,解：(1) 由于d(x2)=2xdx.,其中C为任意常数.,(2),(3),(4),三、高阶微分,设 y = f (x)有直到n阶导数. 其中x为自变量.我们知道, 当x为自变量时, dx=x, 从而dy=f (x)dx = f (x)x.这里 x 和 dx = x是两个独立的变量.当dx=x固定不变时, dy是x的函数, 可考虑dy的微分.,一般, 记 d2y = d(dy), 称为y的二阶微分.,当x为自变量时, 有, d2y = d(dy) =d(f (x)dx) = (f (x)dx)dx = f (x)(dx)2 = f (x)dx2,其中dx2 = (dx)2 .,类似, 记d3y = d(d2y), 称为y的三阶微分.,当x为自变量时, 有, d3y = d(d2y) = ( f (x)dx2)dx = f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3 .,其中dx3 = (dx)3 .,一般, 记 dny = d(dn1y), 称为y的n阶微分.,当x为自变量时, dny = f (n)(x)dxn.其中dxn = (dx)n,注1. 符号 dnu 和 dun 有不同含意.,注2. 对复合函数而言, 二阶以上的微分不再具有微分形式不变性.,例如. 设 y = f (u), u = f ()均二阶可微.,则,dy = f (u)du, 其中du = (x)dx,而d2y = d(f (u) du),= f (u)du du + f (u) d2u.,= f (u)du2 + f (u)d2u.,=d(f (u) du + f (u) d(du),即, 当y = f (u), u不是自变量时, d2y f (u)du2.,