16.3 等比数列及其前 n项和一、选择题1. 1 与 1 两数的等比中项是()2 2A1 B1C1 D.12解析：设等比中项为 x，则 x2( 1)( 1)1，即 x1.2 2答案：C2设 an是任意等比数列，它的前 n项和，前 2n项和与前 3n项和分别为 X， Y， Z，则下列等式中恒成立的是()A X Z2 Y B Y(Y X) Z(Z X)C Y2 XY D Y(Y X) X(Z X)解析(特例法)取等比数列 1,2,4，令 n1 得 X1， Y3， Z7 代入验算，选 D.答案D3若等比数列 an满足 anan1 16 n，则公比为()A2 B4 C8 D16解析由 anan1 a q16 n0 知 q0，又 q2 16， q4.2nan 1an 2anan 1 16n 116n答案B4等比数列 an中， a23， a7a1036，则 a15()A12 B12 C6 D6解析 由等比数列的性质，有 a2a15a 7a1036，则 a15 12，故选 A.36a2答案A5已知等比数列 an的前 n项和 Sn t5n2 ，则实数 t的值为()15A4 B5 C. D.45 15解析 a1 S1 t ， a2 S2 S1 t， a3 S3 S24 t，由 an是等比数列知 215 15 45 (45t)4t，显然 t0，所以 t5.(15t 15)答案B6. 已知 na为等比数列， 472a， 568a，则 10a（ ）A7 B5 C D-72解析 472a， 5647478,2aa答案 D7已知方程( x2 mx2)( x2 nx2)0 的四个根组成以 为首项的等比数列，则 (12 mn)A. B. 或32 32 23C. D以上都不对23解析设 a， b， c， d是方程( x2 mx2)( x2 nx2)0 的四个根，不妨设 a c d b，则 ab cd2， a ，故 b4，根据等比数列的性质，得到： c1， d2，则12m a b ， n c d3，或 m c d3， n a b ，92 92则 或 .mn 32 mn 23答案B二、填空题8设 1 a1 a2 a7，其中 a1， a3， a5， a7成公比为 q的等比数列， a2， a4， a6成公差为 1的等差数列，则 q的最小值是_解析设 a2 t，则 1 t q t1 q2 t2 q3，由于 t1，所以 qmax t， ，t 1故 q的最小值是 .3t 2 33答案 339在等比数列 an中，若公比 q4，且前 3项之和等于 21，则该数列的通项公式an_.解析由题意知 a14 a116 a121，解得 a11，所以数列 an的通项公式 an4 n1 .答案4 n110.等比数列a n的前 n项和为 Sn，公比不为 1.若 a1=1，且对任意的 都有an2 a n1 -2an=0，则 S5=_。解析 由已知可得公比 q=-2，则 a1=1可得 S5。答案 11311已知各项不为 0的等差数列 an，满足 2a3 a 2 a110，数列 bn是等比数列，且27b7 a7，则 b6b8_.解析 由题意可知， b6b8 b a 2( a3 a11)4 a7，27 27 a70， a74， b6b816.答案 1612已知数列 xn满足 lg xn1 1lg xn(nN *)，且 x1 x2 x3 x1001，则lg(x101 x102 x200)_.解析由 lg xn1 1lg xn(nN *)得 lg xn1 lg xn1， 10，数列 xn是公xn 1xn比为 10的等比数列， xn100 xn10100， x101 x102 x20010 100(x1 x2 x3 x100)10 100，lg( x101 x102 x200)lg 10 100100.答案100三、解答题13设数列 an的前 n项和为 Sn， a11，且数列 Sn是以 2为公比的等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)求 a1 a3 a2n1 .解析 (1) S1 a11，且数列 Sn是以 2为公比的等比数列， Sn2 n1 ，又当 n2 时， an Sn Sn1 2 n2 (21)2 n2 . anError!(2)a3， a5， a2n1 是以 2为首项，以 4为公比的等比数列， a3 a5 a2n1 .2 1 4n1 4 2 4n 13 a1 a3 a2n1 1 .2 4n 13 22n 1 1314已知等比数列 an中， a1 ，公比 q .13 13(1)Sn为 an的前 n项和，证明： Sn ；1 an2(2)设 bnlog 3a1log 3a2log 3an，求数列 bn的通项公式解析 (1)证明因为 an n1 ， Sn ，所以 Sn .13 (13) 13n13(1 13n)1 13 113n2 1 an2(2)bnlog 3a1log 3a2log 3an(12 n) .所以 bn的通项公n n 124式为 bn .n n 1215已知数列 an的前 n项和为 Sn，数列 bn中， b1 a1， bn an an1 (n2)，且an Sn n.(1)设 cn an1，求证： cn是等比数列；(2)求数列 bn的通项公式解析 (1)证明 an Sn n， an1 Sn1 n1.得 an1 an an1 1，2 an1 an1，2( an1 1) an1， ， an1是等比数列an 1 1an 1 12首项 c1 a11，又 a1 a11. a1 ， c1 ，公比 q .12 12 12又 cn an1， cn是以 为首项，公比为 的等比数列12 12(2)由(1)可知 cn n1 n，(12) (12) (12) an cn11 n.(12)当 n2 时， bn an an1 1 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1 a1 代入上式也符合， bn n.12 (12)16已知两个等比数列 an， bn，满足 a1 a(a0)， b1 a11， b2 a22，b3 a33.(1)若 a1，求数列 an的通项公式；(2)若数列 an唯一，求 a的值解析(1)设数列 an的公比为 q，则b11 a2， b22 aq2 q， b33 aq23 q2，由 b1， b2， b3成等比数列得(2 q)22(3 q2)即 q24 q20，解得 q12 ， q22 .2 25所以数列 an的通项公式为 an(2 )n1 或 an(2 )n1 .2 2(2)设数列 an的公比为 q，则由(2 aq)2(1 a)(3 aq2)，得 aq24 aq3 a10(*)，由 a0 得 4 a24 a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列 an唯一，知方程(*)必有一根为 0，代入(*)得 a .13