一元四次方程的解法 第 1 页，共 2 页 一元四次方程的解法一元四次方程的解法 对形如 0, 0 234 aedxcxbxax 的一元四次方程，将方程等号两边同时除以最高项系数a，得 0, 0 234 a a e x a d x a c x a b x 移项后有 a e x a d x a c x a b x 234 等式两边同时加上 2 2 x a b ，使等号左边可以配方成完全平方式： a e x a d x a c a b x a b x 2 2 2 2 2 42 此时，两边再同时加上 22 4 1 2 yx a b xy 得 * 4 1 242 1 2 22 2 2 2 2 a e yx a d y a b xy a c a b yx a b x 若x为原方程的根，则无论y取什么值，上式总成立。特别地，若所取y值使等式右边 关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对 *式对两边同时开方可以得到次数较 低的方程。 为使上式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，使它的判别式为 0，即 0 4 1 4 4 2 2 2 2 2 a e yy a c a b a d y a b 这是一个关于y的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式解出y值，代入 *后 两边开方，即可将四次方程降次成为一元二次方程，再通过一元二次方程的求根公式求解， 最终能解出此一元四次方程的四个复根。 略去计算过程，最后可以得出一般一元四次方程的求根公式，如下所述： 设关于x的一元四次方程 0, 0 234 aedxcxbxax 在复数域内的四个解为分别为 1 x， 2 x， 3 x和 4 x。 令 一元四次方程的解法 第 2 页，共 2 页 aceebadbcdc aebdc 72272792 123 223 2 2 1 并记 a a 3 3 2 2 3 12 3 2 2 3 12 1 3 23 4 43 2 则有 a c a b a d a bc a b a c a b a c a b a b x a c a b a d a bc a b a c a b a c a b a b x a c a b a d a bc a b a c a b a c a b a b x a c a b a d a bc a b a c a b a c a b a b x 3 2 4 4 84 3 4 22 1 3 2 42 1 4 3 2 4 4 84 3 4 22 1 3 2 42 1 4 3 2 4 4 84 3 4 22 1 3 2 42 1 4 3 2 4 4 84 3 4 22 1 3 2 42 1 4 2 2 23 3 2 2 2 2 4 2 2 23 3 2 2 2 2 3 2 2 23 3 2 2 2 2 2 2 2 23 3 2 2 2 2 1 Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.