排列组合应用题解法综述,两个原理,知识结构网络图：,分类加法计数原理,分步乘法计数原理,计数原理,排列,组合,定义,排列应用题,排列数,定义,公式,定义,组合应用题,组合数,定义,公式,性质,排 列 组 合 的 综 合 应 用,两个原理的区别与联系：,做一件事或完成一项工作的方法数,直接（分类）完成 每次得到的是最后结果,间接（分步骤）完成 每次得到的是中间结果,做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法,做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法.,1.排列和组合的区别和联系：,从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,例1 北京市丰台区高三练习 如图，某电子器件是由三个电 阻组成的回路,其中有6个焊接 点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ） 63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种,分析:由加法原理可知,由乘法原理可知 222222-1=63,一.把握分类原理、分步原理是基础,小结：本题主要考查了二个原理、分类讨论的思想。以物理问题为背景（或其它背景如以英语单词）的排列、组合应用题，显得小巧有新意.,学后反思,练习将3种作物种植在如图所示的5块实验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有_种(以数字作答) 解析分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c.不妨设放入b，第三块田也有2种方法a或c.,一.把握分类原理、分步原理是基础,练习1 北京朝阳区高三练习在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有10人，则可能出现的录用情况有_种（用数字作答）。,解法1:,解法2:,一.把握分类原理、分步原理是基础,本题考查了乘法原理或先组后排。高考突出考查运算能力，排列、组合的选择填空题都要求以数字作答，同学们千万要注意。,二、注意区别“恰好”与“至少”,例2 云南省高考模拟试题从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种,小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。,解：,练习2 云南省高考模拟从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_种,解：,三、特殊元素（或位置）优先安排,例3 西安市高考模拟试题将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种,解：,练习3 北京东城区高考模拟试题从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有_种不同的摆放方法（用数字作答）。,解：,小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。,2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案,学后反思,四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”,例4 广州市二模七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种 （A）960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种,解：,另解：,小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.,练习4 黄冈5月高考模拟试题某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） （A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种,注:上题中熄灭三盏灯,改为将其中三盏灯改成红、黄、绿色灯,且它们不相邻也不在两端如何解?,解：,解：,四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”,五、混合问题，先“组”后“排”,例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能,练习5 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。,学后反思,例66个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志，分成两排表演 (1)每排4人，问共有多少种不同排法？ (2)领唱站在前排，男同志站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？ 分析排队问题与排数问题相似，首先要看有无特殊元素，特殊位置；进而是如何安排特殊元素等,六.平均分堆（分配）问题,六.平均分堆（分配）问题,例7把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况 (1)有几种不同的分配方法？ (2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志有几种不同的分配方法？ (3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？,六.平均分堆（分配）问题,分析平均分组问题与次序无关，应注意分组的基本方法；同时还应注意分组的其他要求，使之分成的各组满足题目的要求,六.平均分堆（分配）问题,六.平均分堆（分配）问题,例8 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? (3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?,解：（1）,（2）,(3),七、分清排列、组合、等分的算法区别,小结：排列与组合的区别在于元素是否有序; m等分的组合问题是非等分情况的;而元素相同时又要另行考虑.,学后反思,练习6 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,解: (1),(2),六、分清排列、组合、等分的算法区别,七、分类组合,隔板处理,构造“小球投盒”模型：把n个相同的小球放到m个（mn）不同盒子中，有多少种放法？ (1)若每个盒子中至少放一球，则只需在n个小球的（n1）个空档中放置（m1）块隔板把它隔成m份，共有 种放法。 (2)若恰有k个盒子不放球，则只需在n个小球的(n1)个空档中放置（mk1）块隔板，把它分隔成(mk)份，共有 种放法。,七、分类组合,隔板处理,例9 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得:,练习：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高（一）10个班的学生组成，每个班级至少一个，名额分配方案共有 种。,练习：将5个相同的小球投入到4个不同的盒子中，求： （1）每个盒子中至少有1个球的放法有多少种？（由公式一知： =4种）,七、分类组合,隔板处理,=,（2）恰有1个空盒的放法有多少种？（由公式二知：,（3）恰有2个空盒的放法有多少种？（由公式二知：,解 构造一个隔板模型， 18个名额有17个空档，在空档中插入9个隔板，插入数为,小结：把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有 种.,学后反思,