曲线 习题课,1、 Bezier曲线的数学表达式,Bezier曲线是由多项式调和函数推导出来的，通常n1个顶点定义一个n次多项式，其参数向量表达式为；,在式（6-21）中，Pi为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩斯坦（Bernstein）基函数，也就是Bezier多边形的各顶点位置向量之间的调和函数。该函数的表达式为：,2、Bzier曲线的几何性质,（1）端点性质,这表明Bzier曲线以给定的控制点P0为起点，以给定的控制点Pn为终点。, 1）表明Bzier曲线的起点切向量仅与给定的控制点P0、P1有关，相切于向量P1P0，长度为n|P1P0|。 2）Bzier曲线在终点的切向量仅与给定的控制点Pn1和Pn有关，相切于向量PnPn1，长度为n|PnPn1|。,（2）对称性,不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变。,（3）凸包性,Bzier曲线必定落在其特征多边形的凸包之内。,3、 二次Bezier曲线,当m = 3时，顶点P0，P1，P2可定义一条二次(n=2) Bezier曲线。此时式（6-21）可以改写成： P(t)= (1t)2P02t(1t)P1t2P2 (0t1) (6-24),在式(6-24)中，相对应于式(6-21)中的基函数Bi,n(t)分别为： B0,2(t)= 12tt2 B1,2(t)= 2tt2 B2,2(t)= t2,根据式(6-23)，当n = 2时，二次Bezier曲线在起点P0处有切向量P0=P(t=0)=2(P1P0)；在终点P2处有切向量P2 =P(t=1) = 2(P2P1)。同时，当t =1/2时：,该式说明，二次Bezier曲线经过P0P1P2中的一条中线P1Pm的中点P。综上所述，我们可以看出：二次贝济埃曲线是一条抛物线。见图6-16所示。,图6-16 二次贝济埃曲线,4、 三次Bezier曲线,当m=4时，顶点P0, P1, P2, P3四点可定义一条三次(n=3)贝济埃曲线。此时式(6-21)可以改写为： P(t)= (1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3 = (13t+3t2-t)3P0+(3t6t2+3t3)P1+(3t23t3)P2 + t3P3 (0t1) (6-25),5、 De Casteljau算法,6、B样条曲线的数学表达式,给定m+n+1个顶点Pi (i =0, l, 2, , m+n)，可以定义m+1段n次的参数曲线为：,式中Pk,n(t)为第k段n次B样条曲线段(k=0,1,m)，Fi,n(t)为n次B样条基函数，也称为B样条分段混合函数。 其形式为：,(6-27),（1）二次B样条曲线段的起点P(0)在B特征多边形第一条边的中点处，且其切向量P1P0即为第一条边的走向； （2）终点P(1)在B持征多边形线第二条边的中点处，且其切向量P2P1即为第二条边的走向。 （3）P（1/2）正是P(0)P1P(1)的中线P1M的中点，且在P（1/2）处的切线平行于 。 因此，分段二次B样条曲线是一条抛物线。,图6.17 二次B样条曲线,可见，由n个顶点定义的二次B样条曲线，实质上是n2段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在连接处达到一阶连续。,7、二次B样条曲线段,(6-31),8、三次B样条曲线,端点性质： （1）曲线段的起点P（0）位于P0P1P2底边P0P2的中线P1Pm上，且距P1点的三分之一处。该点处的切矢P（0）平行于P0P1P2的底边P0P2，且长度为其二分之一。 该点的二阶导数P（0）等 于中线矢量P1Pm的二倍，,图6.18 三次B样条曲线段,（2）曲线段的终点P（1）位于 P1P2P3底边P1P3的中线P2Pm上， 且距P2点的三分之一处。该点处 的切矢P(1)平行于P0P1P2的底 边P1P3，且长度为其二分之一。 该点的二阶导数P（1）等 于中线矢量P2Pm的二倍，,（3）如果在B特征多边形上增加了一个顶点P4，那么P1P2P3P4又可定义一段新的三次B样条曲线。因为新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和P1、P2、P3三点有关，所以该二段曲线在连接处的位置矢量，一阶切矢和二阶切矢都应相等，即： P1(1) = P2(0) P1(1) = P2(0) 这就证明了，三次B样条曲线可以达到二阶连续。,例2 一条二次的Bezier曲线的控制顶点为P0, P1,P2, 另一条控制顶点为Q0, Q1, Q2,其中P2=Q0。写出两条 曲线可以精确合并为一条Bezier曲线的条件。,例1 用一组型值点来指定曲线曲面的形状时,形状完全 通过给定的型值点列，用该方法得到的曲线曲面称为 曲线曲面的 ,而用控制点列来指定曲线曲面的 形状时,得到的曲线曲面不一定通过控制点列,该方法称 为曲线曲面的 。,例3 计算以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60),(90,90)为控制点的四次Bezier曲线在t=1/2处值，并画出de Casteljau三角形。,例4 设一条三次Bezier曲线前三个控制点为(30,0),(60,20),(80,20)。曲线在t=1/2处的值为(70,15),试求最后一个控制点。,例5 改变P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9 为控制点的三次B样条曲线的一个定点P5，有几段曲线的形状会改变。,例6 给定四点P0（40,30），P1（50,60）， P2（200,80），P3（240,30），构造一条B样条曲线，计算参数为0，1/2，1的值并画出图形。,例7 由5个控制顶点Pi(i=0,1,4)所决定的3次B 样条曲线，由段3次B样条曲线 段光滑连接而成。,例8 给定顶点P0P1P2P3P4P5P6构成的控制多边形，绘出三次B样条曲线的形状示意图。,例9 求以(30,0),(60,10),(80,30),(90,60) 为控制 顶点的三次B 样条曲线在t=1/4 处的值。,