,二维随机变量及其分布,3.1,对于随机试验E，是其样本空间。X(w) 和Y(w)是定义在样本空间上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。,二维随机变量的定义,联合分布函数,设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y,称二元函数 F(x,y)=P(X x,Yy) 为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。,2. 0F(x,y)1,1. x1x2, F(x1,y)F(x2,y) y1y2, F(x,y1)F(x,y2),联合分布函数的性质,4. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y),联合分布函数的性质,二维离散型随机变量,设(xk,yk)(k=1,2,)是二维随机变量(X,Y)所取的一切可能值，且(X,Y)取各个可能值的概率为,则称为(X,Y)二维离散型随机变量，上式为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，简称分布律。,联合分布列,联合分布律的性质,例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下,对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取；(2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。,(X,Y)(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1) 有放回抽取,X=i与Y= j相互独立,(2) 无放回抽取,X=i与Y= j不独立,例2.盒子中装有7个大小形状相同的球， 其中3个红球，2个白球，2个黑球， 现从中任取4个，以X、Y分别表示其 中红球、白球的个数，求(X，Y) 的 联合分布列及概率P(X=Y).,二维连续型随机变量,设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x, y,都有,则称 (X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y) 称为 (X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布密度。,联合概率密度的性质,例2. 设(X,Y)的分布密度是,求 (1) C的值; (2)分布函数; (3)P(YX),解:(1),C=6,(2)当x0或y0时,F(x,y)=0,常见的二维连续型随机变量的分布,均匀分布,设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为,其中 为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布。,例3. 设(X,Y)在区域G（0y2x,0 x 2) 上服从均匀分布，求,(1) (X,Y)的联合概率密度；,(2) P(YX2).,常见的二维连续型随机变量的分布,二维正态分布,若二维随机变量(X,Y)的分布密度为,其中10, 20, | |1, 则称 (X,Y) 服从参数为1 ,2,1,2,的二维正态分布。记作(X,Y) N(1 ,2,12,22,),