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正方形内的半角模型 22 问 何为半角模型?如图 a,在ABC 中,BAC=2DAE,AB=AC。这种模型就叫做 “半角模型 ”。 “半角模型 ”通常解题的方法是 “旋转”。 【例 1】如图 a,ABC 中,AB=AC,BAC=120,D、E 是 BC 边上的点, DAE=60,BD=5,CE=8,求 DE 的长。 【提示】将,AEC 绕点 A 顺时针旋转 120 得到APB,过点 P 作 PMBC 于点 M,连接 PD(如图 a-1)。 则APDAED,PBM=60。 正方形中的半角模型: 【例 2】已知正方形 ABCD,AB=6,点 P 在对角线 BD 上,AP 交 DC 于点 G,PHDC,PEPA 交 BC 于点 E,PFBC 于点 F,连接 EG 交 PF 于点 N,连接 AN 交 PE 于点 M,EKBD 于点 K,连接 AE 交 BD 于点 Q。则有以下结论: 1 / 5 Remove Demo Watermark from (1)PAE 是等腰直角三角形; (2)EF=FC(四边形 EFHP 为平行四边形); (3)PB-PD=2BE; (4)EG=EB+DG; (5)BC+BE=2BP; (6)GA 平分DGE; (7)A 到 EG 的距离为定值; (8)EFN 的周长为定值; (9)FH=AP; (10)BAE=BPE; (11)NE=NG=NP(NEP=NPE,NPG=NGP); (12)KEQ=PEN; (13)APB=AEG; (14)DGE=2AQD; (15)PQ=BQ+PD; (16)AB=2PK(PK=32); (17)若 BE=2,则 PF=4 且 DG=GC; (18)若EPF=22.5,则 PF=PK; (19)若PEC 是等边三角形,则 PE=63-6(PF=9-33,PD=36-32); (20)SABE=6,则 SECG=6; (21)若 ANEG,则 PD=62-6; (22)若 ANEG,则 NA-NE=2NP。 【解析】(1)延长 FP(如图 1-1), 则 PIDH 为正方形, EPF=PAI, EPFPAI, PA=PE,又 PEAP, PAE 为等腰直角三角形; (2)EF=IP=ID=FC,PHEF,故四边形 EFHP 为平行四边形; (3)PB-PD=2BF-2PH =2(BF-PH) =2(BF-EF) =2BE; 2 / 5 (4)将ADG 绕点 A 顺时针旋转 90 得到ABJ(如图 1-2)。 则 AJ=AG,GAE=JAE=45,AE=AE, GAEJAE, JE=EG,JE=JB+BE,JB=DG, EG=EB+DG; (5)BP=BD-PD=2BC-2FC, 2BP=2BC-2FC =BC+(BC-FC-EF) =BC+BE; (6)由(4),AJB=AGE=AGD,故 GA 平分DGE; (7)由(4),AEB=AEG=AGD,故 A 到 EG 的距离=AB=6,为定值; (8)CECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12, EF=FC,FNCG, N 为 EG 中点,CEFN=CECG2=6,为定值; (9)连接 PC(如图 1-3), 根据对称性, PA=PC,四边形 FCHP 为矩形, PC=FH,PA=FH; (10)BAE+DAG=45, BPE+EPF=45, EPF=DAG(参照( 1)的证明), BAE=BPE; 3 / 5 (11)由(8)知,点 N 为 EG 中点,EPG 为直角三角形, NE=NG=NP(NEP=NPE,NPG=NGP); (12)KEQ=AEB-45=90-BAE -45 =45-BAE=DAG; PEN=EPN=DAG, KEQ=PEN; (13)APB=BPC=45+FPC =45+EPN=45+PEN=AEG; (14)AQD=45+BAE =45+45-DAG=90-DAG =AGD, 2AQD=2AGD=DGE; (15)将ABQ 绕点 A 逆时针旋转 90 得到ADR,连接 RP(如图 1-4)。 则 AR=AQ,RAP=QAP=45,AP=AP, RAPQAP,PQ=PR,RD=BQ; ADR=ADP=45, PDR=90, PR=RD+PD,即:PR=RD+PD; (16)PK=BD-BK-PD =2AB-2BE/2-2PH =2AB-2BE/2-2FC =2AB-(2/2)(BE+2FC) =2AB-(2/2)AB =(2/2)AB, AB=2PK;或 6=2PK,PK=3 2; (17)FC=(6-2)2=2, PI=2,PF=4;设 DG=x,则: (6-x)+4=(2+x),解得: x=3, GC=6-3=3,故 DG=GC; (18)EPF=22.5, 4 / 5 DAG=BAE=22.5, 则ADGABE,DG=BE, CE=CG,GEC=45, KEG=90, AEP=45,KEQ=PEN(第 12 问), KEQ=PEN=22.5, PEK=PEF=67.5, 又 PFEF,PKEK, PK=PF; (19)设 FC=a,则 PI=a,PC=PE=2a, PF=3a,IF=(3+1)a=6, a=6(3+1)=3(3-1); PE=6(3-1); PF=33(3-1)=9-33, PD=23(3-1)=36-32; (20)SABE=6, BE=2,由(17),GC=3; EC=4,SECG=342=6; (21)点 N 为 EG 中点,又 ANEG, AG=AE,ADGABE。 DAG=BAE=22.5, EPF=FPC=22.5; PCF=67.5, PBC=45, BPC=67.5, BP=BC=6,BD=62, PD=62-6; (22)由(21),AE=AG,DPG=DGP=67.5, PD=DG=62-6, PDNG,PNDG, 四边形 DGNP 为平行四边形, NP=DG=62-6,NE=NG=PD=62-6; ANGN,ADDG,AG=AG, ADGANG, AN=AD=6, NA-NE=6-(62-6)=12-62, 2NP=2(62-6)=12-62, NA-NE=2NP。 【点评】正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,性质丰富,如果其内部构造了 “垂直模型 ”及“半角模型 ”,则海量等量关系层出不穷。本题从对称轴BD 出发,求 得全等三角形开始,获得线段等量关系:EF=FC=PH,而后步步为营,层层推导,不 断深入,堪为经典题例。 5 / 5
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