解析几何专题经典结论 第 1 页，共 15 页 有关解析几何的经典结论有关解析几何的经典结论 一、椭一、椭 圆圆 1.点处的切线平分在点处的外角外角. （椭圆的光学性质）PPT 12 PFFP 2.平分在点处的外角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，PT 12 PFFPPTH 除去长轴的两个端点. （中位线） 3.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离相离. （第二定义）PQ 4.以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切. （第二定义） 1 PF 5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.（求导或用联立 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0 P 00 22 1 x xy y ab 方程组法） 6.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0 P 12 ,P P 12 PP 直线方程是 00 22 1 x xy y ab 7. 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点， 22 22 1 xy ab 0ab 12 ,F FP 12 FPF 则椭圆的焦点角形的面积为. .（余弦定理+面积公式+半角公式） 12 2 tan 2 F PF Sb 8. 椭圆（）的焦半径公式： 22 22 1 xy ab 0ab ，( , ，).（第二定义） 10 |MFaex 20 |MFaex 1( ,0)Fc 2( ,0) F c 00 (,)M xy 9. 设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点，为椭圆长轴上一个顶点，连结和分别F,P QAAPAQ 交相应于焦点的椭圆准线于两点，则.F,M NMFNF 证明：，xkyc 22 222222222 22 120 xy ab kyb ckyb ca b ab ， 22222 222222 2 , POPO b ca bb cky y yyy ab kab k ， 222222 222222 2 , POPO a ca b ka c x xxx ab kab k 1 / 15 Remove Demo Watermark from 解析几何专题经典结论 第 2 页，共 15 页 ， 22 , NM PPQQ aa aa yy cc yaxyax 00 MNMN MFNFMF NFxcxcy y 易得： 4 2 MN b xcxc c 10. 过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点，且为椭圆长轴上的顶点，和F, P Q 12 ,A A 1 AP 交于点，和交于点，则.（其实就在准线上，下面证明他在 2 A QM 2 A P 1 AQNMFNFMN 准线上） 证明：首先证明准线，和公共点， 1 AP 2 PA 设，不妨设，, PP P xy, QQ Q xy PQ xx ， 1 P P y k xa 2 Q Q y k xa 由， 1 2 ykxa ykxa 得交点，由， 12 12 PQQPPQ PQQPPQ x yx ya yy a kk xa kkx yx ya yy 22 22 1 yk xc xy ab 得，令， 22222222222 20ba kxa k cxa c ka b 22222222 Mba kNba kc k， ， 22222 PQ a c ka b x x M 22 2 PQ a k c xx M 2 2 PQ b ck yy M 2 PQ abkN yy M ，则， 22 2 PQQP a b k x yx y M 2 PQQP abckN x yx y M 222 2 2 22 22 a b ka bkN a MM xa abckNab ckc MM 再根据上一条性质可得结论。 2 / 15 解析几何专题经典结论 第 3 页，共 15 页 11.是椭圆的不平行于对称轴的弦， 为的中点，则，AB 22 22 1 xy ab 00 (,)M xyAB 2 2 OMAB b kk a 即。（点差法） 0 2 0 2 ya xb KAB 12. 若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0 P 22 0000 2222 x xy yxy abab （点差法） 13. 若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 22 22 1 xy ab 0 P 22 00 2222 x xy yxy abab （点差法） 二、双曲线二、双曲线 1.点处的切线平分在点处的内角内角. （同上）PPT 12 PFFP 2.平分在点处的内角，则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆，PT 12 PFFPPTH 除去长轴的两个端点. （同上） 3.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交相交. （同上）PQ 4.以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：在右支；外切：在左支） 1 PFPP （同上） 5.若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是： 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0,0ab 0 P .（同上） 00 22 1 x xy y ab 6.若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0,0ab 0 P ，则切点弦的直线方程是.（同上） 12 ,P P 12 PP 00 22 1 x xy y ab 7.双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点： 22 22 1 xy ab 0,0ab 2 ,F FP ，则双曲线的焦点角形的面积为.（同上） 12 FPF 12 2 t 2 F PF Sb co 8.8.双曲线双曲线（）的焦半径公式：）的焦半径公式： , , 22 22 1 xy ab 0,0ab 1( ,0)Fc 2( ,0) F c 当当在右支上时，在右支上时，, ,. . 00 (,)M xy 10 |MFexa 20 |MFexa 当当在左支上时，在左支上时，, ,（同上） 00 (,)M xy 10 |MFexa 20 |MFexa 9.设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点，为双曲线长轴上一个顶点，连结和FPQAAP 3 / 15 解析几何专题经典结论 第 4 页，共 15 页 分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点，则.（同上）AQFMNMFNF 10. 过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、，且为双曲线实轴上的顶点，FPQ 12 ,A A 和交于点，和交于点，则.（同上） 1 AP 2 A QM 2 A P 1 AQNMFNF 11.是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则AB 22 22 1 xy ab ),( 00 yx ，即。 （同上） 0 2 0 2 ya xb KK ABOM 0 2 0 2 ya xb KAB 12. 若在双曲线（）内，则被所平分的中点弦的方程是： 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0,0ab 0 P .（同上） 22 0000 2222 x xy yxy abab 13. 若在双曲线（）内，则过的弦中点的轨迹方程是： 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 0,0ab 0 P .（同上） 22 00 2222 x xy yxy abab 椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论） 椭椭 圆圆 1.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于 22 22 10 xy ab ab 1( ,0)Aa 2( ,0) A ay 时，与交点的轨迹方程是. 12 ,P P 1 1 AP 22 A P 22 22 1 xy ab 证明：，交点，由，得 111 ,P x y 111 ,P x y 00 ,P xy 1 1 2 2 y yxa xa y yxa xa ， 2 222 1 00 22 1 y yxa xa 又，则 22 11 22 1 xy ab 22 00 22 1 xy ab 2.过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两 22 22 10 xy ab ab 00 (,)A xy,B C 点，则直线有定向且（常数）.BC 2 0 2 0 BC b x k a y 证明： 4 / 15 解析几何专题经典结论 第 5 页，共 15 页 3.若为椭圆上异于长轴端点的任一点，、是焦点, , P 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 F 12 PFF ，则. 21 PF Ftant 22 ac co ac 证法 1（代数） 证法二（几何） 5 / 15 解析几何专题经典结论 第 6 页，共 15 页 4.设椭圆的两个焦点为、, （异于长轴端点）为椭圆上任意一点， 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 FP 在中，记, ,，则有. 12 PFF 12 FPF 12 PFF 12 FF P sin sinsin c e a （上条已证） 5.若椭圆的左、右焦点分别为、，左准线为 ，则当时， 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 Fl021e 可在椭圆上求一点，使得是到对应准线距离与的比例中项.P 1 PFPd 2 PF 6.为椭圆上任一点，、是焦点，为椭圆内一定点，则P 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 FA ,当且仅当三点共线时，等号成立. 211 2| | 2|aAFPAPFaAF 2 ,A F P 7.椭圆与直线有公共点的充要条件是 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 0AxByC . 22222 00 ()A aB bAxByC 8.已知椭圆，O 为坐标原点，、为椭圆上两动点，且. 22 22 10 xy ab ab PQOPOQ （1）; 2222 1111 |OPOQab （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为; 22 22 4a b ab （3）的最小值是. OPQ S 22 22 a b ab 证明 6 / 15 解析几何专题经典结论 第 7 页，共 15 页 9.过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平 22 22 10 xy ab ab F,M NMN 分线交轴于，则.xP | |2 PFe MN 证明 10. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于 22 22 10 xy ab ab ,A BABx 点, 则. 0 (,0)P x 2222 0 abab x aa 11. 设点是椭圆上异于长轴端点的任一点, 、是焦点，记P 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 F ，则(1) . (2) . 12 FPF 2 12 2 | 1 cos b PFPF 1 2 2 tan 2 PF F Sb 7 / 15 解析几何专题经典结论 第 8 页，共 15 页 12. 设是椭圆的长轴两端点，是椭圆上的一点，, ,A B 22 22 10 xy ab ab PPAB ,，分别是椭圆的半焦距离心率，则有：PBABPA, c e (1). 2 222 2|cos| | s ab PA ac co (2) . 2 tantan1 e (3) . 22 22 2 cot PAB a b S ba 13. 已知椭圆的右准线 与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆 22 22 10 xy ab ab lxEF 相交于两点，点在右准线 上，且轴，则直线经过线段的中点.,A BClBCxACEF 证明 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应