高中数学精品资料 2020.8 全国高考理数试卷 -真题分类汇编 2012高考真题分类汇编：推理与证明 1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式： 22 1,3,abab 334455 4,7,11,ababab则 1010 ab A 28 B 76 C123 D199 【答案】 C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【 解 析 】 等 式 右 面 的 数 构 成 一 个 数 列1,3,4,7,11 ， 数 列 的 前 两 项 相 加 后 面 的 项 ， 即 21nnn aaa，所以可推出123 10 a，选 C. 2.【2012 高考真题全国卷理12】正方形 ABCD的边长为1，点 E在边 AB上，点 F在边 BC上， AEBF 7 3 .动点 P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反 弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时， P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 【答案】 B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是 平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14 次即可 . 3.【2012 高考真题湖北理10】我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的 体积V，求其直径d 的一个近似公式 3 16 9 dV . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是 11. 3 16 9 dVB 3 2dVC 3 300 157 dVD 3 21 11 dV 【答案】 D 【解析】 3 3 466b6 9 ()d,=3.375 32b16 6 16 1576 11 =3=3.14,=3.142857 230021 dVa VA a BD 由，得设选项中常数为则； 中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得， 由于D 中值最接近 的真实值，故选择D 。 4.【2012 高考真题陕西理11】 观察下列不等式 2 13 1 22 23 115 1 233 ， 4 7 4 1 3 1 2 1 1 222 照此规律，第五个 不等式为 . 【答案】 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 . 【解析】通过观察易知第五个不等式为 6 11 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 22222 . 5. 【2012 高考真题湖南理16】设N=2 n （nN *，n2） ，将 N个数 x 1,x2, ，xN依次放入编号为 1,2 ，N的 N个位置， 得到排列P0=x1x2xN. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出， 并按原顺序依次放入对应的前 2 N 和后 2 N 个位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4 xN，将此操作称 为 C 变换，将P1分成两段，每段 2 N 个数，并对每段作C 变换，得到 2 p；当 2i n-2 时， 将 Pi分成 2 i 段，每段 2 i N 个数，并对每段C变换，得到 Pi+1， 例如，当 N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8， 此时 x7位于 P2中的第 4 个位置 . （1）当 N=16时， x7位于 P2中的第 _个位置； （2）当 N=2 n（n8）时， x 173位于 P4中的第 _个位置 . 【答案】（1） 6； （2） 4 3 211 n 【解析】（1）当 N=16时, 012345616 Px x x x x xx, 可设为(1,2,3,4,5,6,16), 113571524616 Px x x xx x x xx, 即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16), 2159133711152616 Px x x x x x x x x xx, 即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,16), x7位于 P2中的第 6 个 位置 , ； （2）方法同（ 1）, 归纳推理知x173位于 P4中的第 4 3211 n 个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 6. 【2012 高考真题湖北理13】 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22，121， 3443，94249 等显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，993 位回文数有 90 个：101，111， 121， 191，202， 999则 （ ）4 位回文数有个； （ ） 21()nnN 位回文数有个 【答案】 90， n 109 【解析】（）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（19）种情况，第二位有10（09）种情况，所以4 位回文数有90109种。 答案： 90 （）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和2n+2 位回文数的个数相同， 所以可以算出2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前n+1 位的排列情况， 第一位不能 为 0 有 9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为 n 109. 法二、可以看出2 位数有 9 个回文数， 3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数 是可以看出在2 位数的中间添加成对的“ 00,11,22, 99” ，因此四位数的回文数有90 个 按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09 这十 个数，因此,则答案为 n 109. 7.【2012 高考真题北京理20】 （本小题共13 分） 【答案】 解： （ 1）由题意可知 1 1.2rA， 2 1.2rA， 1 1.1cA， 2 0.7cA， 3 1.8cA 0.7k A （2）先用反证法证明1k A ： 若1k A 则 1| |1|11cAaa，0a 同理可知0b，0ab 由题目所有数和为0 即1abc 11cab 与题目条件矛盾 1k A 易知当0ab时，1k A存在 k A 的最大值为1 （3） k A 的最大值为 21 2 t t . 首先构造满足 21 ( ) 2 t k A t 的 ,(1,2,1,2,., 21)i jAaijt： 1,11,21,1,11,21,21 1 .1,. 2 tttt t aaaaaa t ， 2 2,12,22,2,12,22,21 1 .,.1 (2) tttt tt aaaaaa t t . 经计算知， A中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为0，且 12 21 | ()| |( ) | 2 t r ArA t ， 2 12 1121 |() | |()| .|( ) | 11 (2)22 t tttt c AcAc A t ttt ， 1221 121 |()| |( ) | .|()| 1 22 ttt tt cAcAcA tt . 下 面 证 明 21 2 t t 是 最 大 值 . 若 不 然 ， 则 存 在 一 个 数 表(2,21)ASt， 使 得 21 ( ) 2 t k Ax t . 由( )k A的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1 的 数的和，其绝对值不超过2， 故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间 ,2x中 . 由于1x， 故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x. 设A中有g列的列和为正， 有h列的列和为负， 由对称性不妨设gh， 则,1gt ht. 另外，由对称性不妨设 A的第一行行和为正，第二行行和为负 . 考虑 A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于1t 个负数，每 个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1） ，每个负数的绝对值不小于1x（即每个 负数均不超过1x）. 因此 11 | ()|( )1 (1)(1)21 (1)21 (2)r Ar Attxttxxttxx， 故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾 . 因此 kA 的最大值为 2 12 t t 。 8.【2012 高考真题湖北理】 （本小题满分14 分） （）已知函数( )(1) (0) r f xrxxrx，其中 r 为有理数，且01r. 求( )f x 的 最小值； （ ）试用（ ）的结果证明如下命题： 设 12 0,0aa， 12 ,b b 为正有理数 . 若 12 1bb，则 12 121 122 bb aaaba b ； （ ）请将（ ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法 证明你所推广的命题. 注： 当为正有理数时，有求导公式 1 ()xx. 【答案】（） 11 ( )(1) rr fxrrxrx，令( )0fx，解得1x. 当 01x时，( )0fx，所以( )f x 在 (0, 1)内是减函数； 当1x时，( )0fx，所以( )f x 在 (1,) 内是增函数 . 故函数( )f x 在1x处取得最小值(1)0f. （）由（ ）知，当(0,)x时，有( )(1)0fxf，即(1) r xrxr 若 1 a ， 2 a 中有一个为0，则 12 121 122 bb aaa ba b 成立； 若 1 a ， 2 a 均不为 0，又 12 1bb，可得 21 1bb ，于是 在中令 1 2 a x a ， 1 rb ，可得 1 11 11 22 ()(1) baa bb aa ， 即 11 1 121 121 (1) bb aaa bab，亦即 12 121 122 bb aaa ba b . 综上，对 12 0,0aa， 1 b ， 2b 为正有理数且 12 1bb，总有 12 121 12 2 bb a aa ba b . （） （）中命题的推广形式为： 设 12 , n aaa 为非负实数， 12 , n bbb 为正有理数 . 若 12 1 n bbb，则 12 121 122 n b bb nn n a aaa ba ba b . 用数学归纳法证明如下： （1）当1n时， 1 1b，有 11 aa ，成立 . （2）假设当 nk 时，成立，即若 12 , k a aa 为非负实数， 12 , k b bb 为正有理数， 且 12 1 k bbb，则 12 121 12 2 k bbb kkk a aaa ba ba b . 当1nk时，已知 121 , kk a aaa为非负实数， 121 , kk b bbb为正有理数， 且 1211kkbbbb，此时101kb，即110kb，于是 111212 121121 () kkkk bbbbbbbb kkkk a aa aa aaa= 12 11111 1111 121 () k kkkkk bbb bbbbb kk aaaa. 因 12 111 1 111 k kkk bbb bbb ，由归纳假设可得 12 111 111 12 k kkk bbb bbb k aaa 12 12 111 111 k k kkk bbb aaa bbb 1 122 1 1 kk k a ba ba b b ， 从而 112 121 kk bb bb kk a aa a 1 1 1 1 122 1 11 k k b b kk k k a ba ba b a b . 又因 11 (1)1 kk bb，由得 1 1 1 1 122 1 1 1 k k b b kk k k a ba ba b a b 1 122 111 1 (1) 1 kk kkk k a ba ba b bab b 1 12211kkkka ba ba bab， 从而 112 121 kk bbbb kk a aa a 1