专题10 数列、等差数列等比数列1在数列an中，已知a1a2an2n1，则aaa等于()A(2n1)2B.C4n1 D.【答案】：D【解析】：设Sn为an的前n项和，Sna1a2an2n1，当n2时，Sn12n11，an2n1(2n11)2n1，a4n1，当n1时，a11也符合上式，所以aaa.2已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则()A1 B1C32 D32【答案】：C【解析】： 3设等比数列an的前6项和S66，且1为a1，a3的等差中项，则a7a8a9()A2 B8C10 D14【答案】：B【解析】：依题意得a1a32a2，即S3a1a2a32，数列S3，S6S3，S9S6成等比数列，即数列2,4，S96成等比数列，于是有S9S68，即a7a8a98，选B.4已知数列an的首项a12，数列bn为等比数列，且bn，若b10b112，则a21()A29 B210C211 D212【答案】：C【解析】：由bn，且a12，得b1，a22b1；b2，a3a2b22b1b2；b3，a4a3b32b1b2b3；an2b1b2b3bn1，a212b1b2b3b20，又bn为等比数列，a212(b1b20)(b2b19)(b10b11)2(b10b11)10211.5已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于()A4 B6C8 D10【答案】：C【解析】：设数列an的公差为d，则S1a1，S22a1d，S44a16d，故(2a1d)2a1(4a16d)，整理得d2a1，所以8，选C.6在数列an中，若a12，且对任意正整数m，k，总有amkamak，则an的前n项和Sn()An(3n1) B.Cn(n1) D.【答案】：C【解析】：依题意得an1ana1，即有an1ana12，所以数列an是以2为首项、2为公差的等差数列，an22(n1)2n，Snn(n1)，选C.7.在等差数列an中，a13a3a1510，则a5的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A 8.等比数列an的前n项和为Sn，若2S4S5S6，则数列an的公比q的值为()A.2或1 B.1或2C.2 D.1【答案】C【解析】法一若q1，则S44a1，S55a1，S66a1，显然不满足2S4S5S6，故A、D错.若q1，则S4S60，S5a50，不满足条件，故B错，因此选C.法二经检验q1不适合，则由2S4S5S6，得2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.9.已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A.110 B.90 C.90 D.110【答案】D 10.等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.【答案】A【解析】由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1).11.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】 D【解析】 由等差数列的前n项和及等差中项，可得7 (nN*)，故n1,2,3,5,11时，为整数.即正整数n的个数是5. 12.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.【答案】8【解析】根据题意知a7a8a93a80，即a80.又a8a9a7a100，a90，当n8时，an的前n项和最大.13.在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15_.【答案】3 14.设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1 (n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.【答案】.9【解析】由题意知，数列bn有连续四项在集合53，23，19,37,82中，说明an有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由于an中连续四项至少有一项为负，q1，an的连续四项为24,36，54，81，q，6q9. 15.公差不为0的等差数列an的部分项ak1，ak2，ak3，构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.【答案】 22【解析】根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1ak4a1(n1)(3a1)64a1，解得n22，即k422.16.设函数f(x)a1a2xa3x2anxn1，f(0)，数列an满足f(1)n2an(nN*)，则数列an的通项公式为_.【答案】 an 17.若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和，如62137，f(6)3710，f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，则f2016(4)_.【答案】 5【解析】因为42117，f(4)178，则f1(4)f(4)8，f2(4)f(f1(4)f(8)11，f3(4)f(f2(4)f(11)5，f4(4)f(f3(4)f(5)8，所以fk1(n)f(fk(n)为周期数列.可得f2016(4)5. 18.数列an满足a1a2a3an2n5，则an_.【答案】 an【解析】a1a2an2n5.a1a2an12(n1)5.由得an2，an2n1 (n2).又a125，a114.an19.对于正项数列an，定义Hn为an的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn，则数列an的通项公式为_.【答案】 an 20.已知数列an满足a1且an1ana(nN*).(1) 证明：12(nN*)；(2)设数列a的前n项和为Sn，证明：(nN*).【解析】证明(1)由题意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由0an得(1,2，即12成立.(2)由题意得aanan1，所以Sna1an1，由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*).由得(nN*).21.已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和. 22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.【解析】(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15. 23在公差不为零的等差数列an中，已知a11，且a1，a2，a5依次成等比数列数列bn满足bn12bn1，且b13.(1)求an，bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1的大小【解析】：(1)设数列an的公差为d.因为a11，且a1，a2，a5依次成等比数列，所以aa1a5，即(1d)21(14d)，所以d22d0，解得d2(d0不合要求，舍去)所以an12(n1)2n1.因为bn12bn1，所以bn112(bn1)所以bn1是首项为b112，公比为2的等比数列所以bn122n12n.所以bn2n1.