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全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1已知2阶行列式,则( B )ABCD2设A , B , C均为n阶方阵,则( D )AACBBCABCCBADBCA3设A为3阶方阵,B为4阶方阵,且,则行列式之值为( A )ABC2D84,则( B )APABAPCQADAQ5已知A是一个矩阵,下列命题中正确的是( C )A若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩(A)=2B若A中存在2阶子式不为0,则秩(A)=2C若秩(A)=2,则A中所有3阶子式都为0D若秩(A)=2,则A中所有2阶子式都不为06下列命题中错误的是( C )A只含有1个零向量的向量组线性相关B由3个2维向量组成的向量组线性相关C由1个非零向量组成的向量组线性相关D2个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组线性无关,线性相关,则( D )A必能由线性表出B必能由线性表出C必能由线性表出D必能由线性表出注:是的一个极大无关组8设A为矩阵,则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩( D )A小于mB等于mC小于nD等于n 注:方程组Ax=0有n个未知量9设A为可逆矩阵,则与A必有相同特征值的矩阵为( A )ABCD,所以A与有相同的特征值10二次型的正惯性指数为( C )A0B1C2D3,正惯性指数为2二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)11行列式的值为_12设矩阵,则_13设,若向量满足,则_14设A为n阶可逆矩阵,且,则|_15设A为n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则_个方程、个未知量的Ax=0有非零解,则016齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_,基础解系所含解向量的个数为17设n阶可逆矩阵A的一个特征值是,则矩阵必有一个特征值为_A有特征值,则有特征值,有特征值18设矩阵的特征值为,则数_由,得219已知是正交矩阵,则_由第1、2列正交,即它们的内积,得020二次型的矩阵是_三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21计算行列式的值解:22已知矩阵,求(1);(2)解:(1);(2)注意到,所以23设向量组,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解:,向量组的秩为3,是一个极大无关组,24已知矩阵,(1)求;(2)解矩阵方程解:(1),;(2)25问a为何值时,线性方程组有惟一解?有无穷多解?并在有解时求出其解(在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解)解:时,有惟一解,此时,;时,有无穷多解,此时,通解为,其中为任意常数26设矩阵的三个特征值分别为,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使解:由,得,对于,解:,取;对于,解:,取;对于,解:,取令,则P是可逆矩阵,使四、证明题(本题6分)27设A,B,均为n阶正交矩阵,证明证:A,B,均为n阶正交阵,则,所以 全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1设3阶方阵,其中()为A的列向量,若,则( C )ABC6D122计算行列式( A )ABC120D1803若A为3阶方阵且,则( C )AB2C4D8,4设都是3维向量,则必有( B )A线性无关B线性相关C可由线性表示D不可由线性表示5若A为6阶方阵,齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2,则( C )A2B3C4D5由,得46设A、B为同阶方阵,且,则( C )AA与B相似BCA与B等价DA与B合同注:A与B有相同的等价标准形7设A为3阶方阵,其特征值分别为,则( D )A0B2C3D24的特征值分别为,所以8若A、B相似,则下列说法错误的是( B )AA与B等价BA与B合同CDA与B有相同特征值注:只有正交相似才是合同的9若向量与正交,则( D )AB0C2D4由内积,得410设3阶实对称矩阵A的特征值分别为,则( B )AA正定BA半正定CA负定DA半负定对应的规范型,是半正定的二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)11设,则_12设A为3阶方阵,且,则_13三元方程的通解是_,通解是14设,则与反方向的单位向量是_15设A为5阶方阵,且,则线性空间的维数是_的维数等于基础解系所含向量的个数:1617若A、B为5阶方阵,且只有零解,且,则_只有零解,所以可逆,从而18实对称矩阵所对应的二次型_19设3元非齐次线性方程组有解,且,则的通解是_是的基础解系,的通解是20设,则的非零特征值是_由,可得,设的非零特征值是,则,三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21计算5阶行列式解:连续3次按第2行展开,22设矩阵X满足方程,求X解:记,则,23求非齐次线性方程组的通解解:,通解为,都是任意常数24求向量组,的秩和一个极大无关组解:,向量组的秩为2,是一个极大无关组25已知的一个特征向量,求及所对应的特征值,并写出对应于这个特征值的全部特征向量解:设是所对应的特征值,则,即,从而,可得,;对于,解齐次方程组:,基础解系为,属于的全部特征向量为,为任意非零实数26设,试确定使解:,时四、证明题(本大题共1小题,6分)27若是()的线性无关解,证明是对应齐次线性方程组的线性无关解证:因为是的解,所以,是的解;设,即,由线性无关,得,只有零解,所以线性无关全国2011年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码:04184说明:本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩,()表示向量与的内积,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.设行列式=4,则行列式=( )A.12B.24C.36D.482.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )A.A-1CB-1B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-13.已知A2+A-E=0,则矩阵A-1=( )A.A-EB.-A-EC.A+ED.-A+E4.设是四维向量,则( )A.一定线性无关B.一定线性相关C.一定可以由线性表示D.一定可以由线性表出5.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0r(A)(n)6.设A为n阶方阵,r(A)n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解7.设是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,则( )A.是Ax=b的解B.是Ax=b的解C.是Ax=b的解D.是Ax=b的解8.设,为矩阵A=的三个特征值,则=( )A.20B.24C.28D.309.设P为正交矩阵,向量的内积为()=2,则()=( )A.B.1C.D.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式=0,则k=_. 12.设A=,k为正整数,则Ak=_. 13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=,则矩阵A=_. 14.设向量=(6,-2,0,4),=(-3,1,5,7),向量满足,则=_. 15.设A是mn矩阵,Ax=0,只有零解,则r(A)=_. 16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解,则A(3)=_. 17.实数向量空间V=(x1,x2,x3)|x1-x2+x3=0的维数是_. 18.设方阵A有一个特征值为0,则|A3|=_. 19.设向量(-1,1,-3),(2,-1,)正交,则=_. 20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型,则t满足_.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算行列式 22.设矩阵A=,对参数讨论矩阵A的秩. 23.求解矩阵方程X= 24.求向量组:,的一个极大线性无关组,并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵的特征值和特征向量.四、证明题(本大题共
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