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2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析1、 选择题:18小题,每小题4分,共32分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1) 当时,下列无穷小量中最高阶的是( )(A) (B) (C) (D)答案:(D)解析:(A); (B);(C) ; (D)(2) 函数的第二类间断点的个数( )(A) 1 (B) 2 (C ) 3 (D) 4 答案:(C)解析:间断点为;,故其为第二类无穷间断点;,故其为第一类间断点;,故其为第二类间断点;(3)(A) (B) (C) (D) 答案:(A)解析:令,代入原式有:上式.(4) 已知则(A) (B) (C) (D)答案:(A)解析:,则(5) 关于给出下列结论:(1) (2) (3) (4)其中正确个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1答案:(B)解析:;从而正确的命题有3个.(6) 设在上可导,则( )(A) (B) (C) (D) 答案:(B)解析:可得函数单调递增,从而.(7) 四阶矩阵不可逆,为的列向量组,则的通解为( )(A) (B) (C) (D)答案:(C)解析:由于四阶矩阵不可逆,故,从而有且,即就是的解,又因为,故可以由线性表示,故线性无关.故正确答案为(C)(8)为3阶矩阵,为属于特征值1的线性无关的特征向量,为的属于的特征向量,满足的可逆阵为( )(A) (B) (C) (D) 答案:(D)解析:相似对角化的过程要求与中的特征值有对应关系,从而由特征向量的性质可知(D)为正确选项.二、填空题:914小题,每小题4分,共24分 请将答案写作答题纸指定的位置上.(9)设,则答案:解析:,(10)答案:解析:交换积分次序有(11)设则答案:解析:代入可得(12)斜边长为的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面平齐,记重力加速度为,水密度为,则三角形平板的一侧受到的压力为答案:解析:(13)设满足且,则.答案:1解析:可得特征方程,从而,又可得,故(14)行列式答案:解析:三、解答题:1523小题,共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)求曲线的斜渐近线。答案:解析:,而,故;综上,斜渐近线的方程为.(16) (本题满分10分)设连续,且,求且证明在处连续.答案:解析:设连续,且,则令,则(,时,;故当时,当时,;从而,即是连续的.(17)(本题满分10分)求的极值.答案:有极小值点,极小值为.解析:令得驻点为或又代入得,故其不是极值点;代入得且,故为极小值点,相应的极小值为.(18)(本题满分10分)设在上有定义,且满足(1) 求;(2) 求曲线以及轴围成的图绕轴旋转一周的体积;答案:(1) (2)解析:(1)因为,所以消去可得(3) 含轴绕轴的模型,利用公式计算如下:(19)(本题满分10分)计算二重积分,其中区域由及轴所围成.答案:解析:,又故所以,.(20)(本题满分11分)已知(1) 证明:使得(2) 证明:使得证明:(1) 令因为在上连续且,从而根据零点定理可知使得.(2) 令因为在上连续,在内可导,且,从而根据罗尔定理可知使得.即,整理后可得使得(21) (本题满分11分)已知可导,且曲线过原点,点为曲线上的任一点,过点的切线与轴相交于点,过点做垂直于轴于点,且曲线与直线以及轴所围成的图形面积与三角形的面积比恒为,求曲线满足的方程.答案:解析:设点,则知;曲线与直线以及轴所围成的图形面积为从而根据题意有 且;两边同时对求导并整理有即又令,代入上式有,解之得,将回代,再解之得,又故,从而.(22)(本题满分11分)二次型经可逆线性变换变换为(1) 求的值;(2) 求可逆矩阵答案:解析:(1)二次型的矩阵又,故,故.(3) 令即可化;即综上(23)(本题满分11分)设为2阶矩阵,,其中是非零向量且不是的特征向量.(1) 证明是可逆阵;(2) 若,求,并判断是否可以相似对角化.【详解】()不是特征向量且,则,即线性无关,所以,矩阵可逆.()设则,即所以,则,因为,所以可以相似对角化,则可以相似对角化.
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