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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:(总脚数-每只鸡的脚数总头数)(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。或者是(每只兔脚数总头数-总脚数)(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”解一 (100-236)(4-2)=14(只)兔;36-14=22(只)鸡。解二 (436-100)(4-2)=22(只)鸡;36-22=14(只)兔。(答 略)(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式(每只鸡脚数总头数-脚数之差)(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数或(每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差)(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。(例略)(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。(每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差)(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;总头数-兔数=鸡数。或(每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差)(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;总头数-鸡数=兔数。(例略)(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:(1只合格品得分数产品总数-实得总分数)(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。或者是总产品数-(每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数)(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”解一 (41000-3525)(4+15)=47519=25(个)解二 1000-(151000+3525)(4+15)1000-1852519=1000-975=25(个)(答略)(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。)(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:(两次总脚数之和)(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)(每只鸡兔脚数之差)2=鸡数;(两次总脚数之和)(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)(每只鸡兔脚数之差)2=兔数。例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?”解 (52+44)(4+2)+(52-44)(4-2)2=202=10(只)鸡(52+44)(4+2)-(52-44)(4-2)2=122=6(只)兔(答略)鸡兔同笼目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法 基本问题 特殊算法 习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔?算这个有个最简单的算法。(总脚数-总头数鸡的脚数)(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数 (94352)2=12(兔子数) 总头数(35)兔子数(12)=鸡数(23) 解释:让兔子和鸡同时抬起两只脚,这样笼子里的脚就减少了头数2只,由于鸡只有2只脚,所以笼子里只剩下兔子的两只脚,再除以2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2假设法假设全是鸡:235=70(只) 鸡脚比总脚数少:9470=24 (只) 兔:24(4-2)=12 (只) 鸡:3512=23(只) 假设法(通俗) 假设鸡和兔子都抬起一只脚,笼中站立的脚: 94-35=59(只) 然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24(只) 兔:242=12(只) 鸡:35-12=23(只)3方程法一元一次方程解:设兔有x只,则鸡有(35-x)只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 2x=24 x=242 x=12 35-12=23(只) 或 解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只。 2x+4(35-x)=942x+140-4x=94 2x=46 x=23 35-23=12(只) 答:兔子有12只,鸡有23只。注:通常设方程时,选择腿的只数多的动物,会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上,好算一些。二元一次方程解:设鸡有x只,兔有y只。x+y=352x+4y=94(x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入(x+y=35)x+12=35x=35-12(只)x=23(只)。答:兔子有12只,鸡有23只4抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚,还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1,这时,脚与头的总数之差47-35=12,就是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚,还剩下94352=24只脚 , 这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子的脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有242=12只兔子,就有3512=23只鸡5列表法腿数鸡(只数)兔(只数)6详解中国古代孙子算经共三卷,成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比如“鸡兔同笼”问题: 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? 题目中给出雉兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是352=70(只),比题中所说的94只要少94-70=24(只)。 现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即70+2=72(只),再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2,2,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数:242=12(只),从而鸡有35-12=23(只)。 我们来总结一下这道题的解题思路:如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数)(每只兔子脚数-每只鸡脚数)。类似地,也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的办法:设兔子的数量为x,鸡的数量为y 那么:x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出:兔子有12只,鸡有23只。7详细解法基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只 解:我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着。现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是2442=122(只). 在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数 122-88=34(只), 有34只兔子.当然鸡就有54只。 答:有兔子34只,鸡54只。 上面的计算,可以归结为下面算式: 总脚数2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。因此,我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1. 如果设想88只都是兔子,那么就有488只脚,比244只脚多了 884-244=108(只). 每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡 (884-244)(4-2)= 54(只). 说明我们设想的88只兔子中,有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=(兔脚数总头数-总脚数)(兔脚数-鸡脚数). 当然,我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚288=176(只),比244只脚少了 244-176=68(只). 每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚, 682=34(只). 说明设想中的鸡,有34只是兔子,也可以列出公式 兔数=(总脚数-鸡脚数总头数)(兔脚数-鸡脚数). 上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数。 假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为假设法. 现在,拿一个具体问题来试试上面的公式。 例2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元。问红,蓝铅笔各买几支? 解:以分作为钱的单位.我们设想,一种鸡有11只脚,一种兔子有19只脚,它们共有16个头,280只脚。 现在已经把买铅笔问题,转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有 蓝笔数=(1916-280)(19-11) =248 =3(支). 红笔数=16-3=13(支). 答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。 对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想,脚数是 8(11+19)=240(支)。 比280少40. 40(19-11)=5(支)。 就知道设想中的8只鸡应少5只,也就是鸡(蓝铅笔)数是3. 308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算. 实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如,设想16只中,兔数为10,鸡数为6,就有脚数 1910+116=256. 比280少24. 24(19-11)=3, 就知道设想6只鸡,要少3只。 要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子。 例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时。甲打字用了多少小时? 解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时
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