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1 实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案) 类型一:列二元一次方程组解决行程问题 实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案) 类型一:列二元一次方程组解决行程问题 【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米,相向而行,如果甲比乙先走 2 小时,那么他们在乙 出发 2.5 小时后相遇;如果乙比甲先走 2 小时,那么他们在甲出发 3 小时后相遇,甲、乙两 人每小时各走多少千米? 【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米,相向而行,如果甲比乙先走 2 小时,那么他们在乙 出发 2.5 小时后相遇;如果乙比甲先走 2 小时,那么他们在甲出发 3 小时后相遇,甲、乙两 人每小时各走多少千米? 解:设甲,乙速度分别为 x,y 千米/时,依题意得: (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得: x=6,y=3.6 答:甲的速度是 6 千米/每小时,乙的速度是 3.6 千米/每小时。 【变式 2】两地相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用 14 小时,逆流用 20 小时,求 船在静水中的速度和水流速度。 【变式 2】两地相距 280 千米,一艘船在其间航行,顺流用 14 小时,逆流用 20 小时,求 船在静水中的速度和水流速度。 解:设这艘轮船在静水中的速度 x 千米/小时,则水流速度 y 千米/小时,有: 20(x-y)=280 14(x+y)=280 解得:x=17,y=3 答:这艘轮船在静水中的速度 17 千米/小时、水流速度 3 千米/小时, 类型二:列二元一次方程组解决工程问题类型二:列二元一次方程组解决工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元;若甲公 司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,还需 9 周完成,需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成,从 节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元;若甲公 司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,还需 9 周完成,需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成,从 节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 解: 2 类型三:列二元一次方程组解决商品销售利润问题类型三:列二元一次方程组解决商品销售利润问题 【变式 1】(2011 湖南衡阳)李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000 元,其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元,乙种蔬菜每亩获利 1500 元,李大叔去年甲、乙两种蔬 菜各种植了多少亩? 【变式 1】(2011 湖南衡阳)李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000 元,其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元,乙种蔬菜每亩获利 1500 元,李大叔去年甲、乙两种蔬 菜各种植了多少亩? 解:设甲、乙两种蔬菜各种植了 x、y 亩,依题意得: x+y=10 2000 x+1500y=18000 解得:x=6,y=4 答:李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩 【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品,销售完后共获利 6 万元,其进价和售价如下表: 【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品,销售完后共获利 6 万元,其进价和售价如下表: A AB B 进价(元/件)进价(元/件)1200120010001000 售价(元/件)售价(元/件)1380138012001200 (注:获利 = 售价 进价)求该商场购进 A、B 两种商品各多少件;(注:获利 = 售价 进价)求该商场购进 A、B 两种商品各多少件; 解:设购进 A 的数量为 x 件、购进 B 的数量为 y 件,依据题意列方程组 1200 x+1000y=360000 (1380-1200)x+(1200-1000)y=60000 解得 x=200,y=120 答:略 类型四:列二元一次方程组解决银行储蓄问题类型四:列二元一次方程组解决银行储蓄问题 【变式 2】 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用, 在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱. 第一种,一年期整存整取,共反复存了 3 次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息 2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 【变式 2】 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用, 在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱. 第一种,一年期整存整取,共反复存了 3 次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息 2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 解:设 x 为第一种存款的方式,Y 第二种方式存款,则 X + Y = 4000 X * 2.25* 3 + Y * 2.7* 3 = 303.75 解得:X = 1500,Y = 2500。 答:略。 3 类型五:列二元一次方程组解决生产中的配套问题类型五:列二元一次方程组解决生产中的配套问题 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子? 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子? 解:设 x 张做盒身,y 张做盒底,则有盒身 8x 个,盒底 22y 个 x+y=190 8x=22y/2 解得 x=110,y=80 即 110 张做盒身,80 张做盒底 【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天 生产螺栓 14 个或螺母 20 个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺 栓和螺母刚好配套。 【变式 2】某工厂有工人 60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天 生产螺栓 14 个或螺母 20 个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺 栓和螺母刚好配套。 解: 设生产螺栓的工人为 x 人 , 生产螺母的工人为 y 人 x+y=60 28x=20y 解得 x=25,y=35 答:略 【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成,如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个, 或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料 做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?能配多少张方桌? 【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成,如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个, 或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料 做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?能配多少张方桌? 解:设用 X 立方米做桌面,用 Y 立方米做桌腿 X+Y=5.(1) 50X:300Y=1:4.(2) 解得:Y=2,X=5-2=3 答:用 3 立方米做桌面,2 立方米的木料做桌腿。 类型六:列二元一次方程组解决增长率问题类型六:列二元一次方程组解决增长率问题 【变式 2】某城市现有人口 42 万,估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加 1.1%, 这样全市人口增加 1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。 【变式 2】某城市现有人口 42 万,估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加 1.1%, 这样全市人口增加 1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。 解:设该城市现在的城镇人口有 x 万人,农村人口有 y 万人。 xy42 0.8%X1.1%Y 421% 解这个方程组,得:x=14, y=28 答:该市现在的城镇人口有 14 万人,农村人口有 28 万人。 4 类型七:列二元一次方程组解决和差倍分问题类型七:列二元一次方程组解决和差倍分问题 【变式 1】略【变式 1】略 【变式 2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。如果每位男 孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍,你知道 男孩与女孩各有多少人吗? 【变式 2】 游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。如果每位男 孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍,你知道 男孩与女孩各有多少人吗? 解:设:男有 X 人,女有 Y 人,则 X-1=Y 2(Y-1)=X 解得:x=4,y=3 答:略 类型八:列二元一次方程组解决数字问题类型八:列二元一次方程组解决数字问题 【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的 3 倍,结果是 23;这个两位数除以它的各位数字 之和,商是 5,余数是 1,这个两位数是多少? 【变式 1】一个两位数,减去它的各位数字之和的 3 倍,结果是 23;这个两位数除以它的各位数字 之和,商是 5,余数是 1,这个两位数是多少? 解:设这个两位数十位数是 x,个位数是 y,则这个数是(10 x+y) 10 x+y-3(x+y)=23 (1) 10 x+y=5(x+y)+1 (2) 由(1),(2)得 7x-2y=23 5x-4y=1 解得:x=5 y=6 答:这个两位数是 56 【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 5,如果把十位上的数字与个位上的数字交 换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9,求这个两位数? 【变式 2】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 5,如果把十位上的数字与个位上的数字交 换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9,求这个两位数? 解:设个位 X,十位 Y,有 X - Y = 5 (10X + Y) + (10 + X) = 143 即 X - Y = 5 X + Y = 13 解得:X = 9,Y = 4 这个数就是 49 【变式 3】某三位数,中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减 1,个 位数字加 1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。 【变式 3】某三位数,中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减 1,个 位数字加 1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。 解:设原数百位是 x,个位是 y 那么 x+y=9 5 x-y=1 两式相加得到 2x=10 = x=5 = y=5-1=4 所以原数是 504 类型九:列二元一次方程组解决浓度问题类型九:列二元一次方程组解决浓度问题 【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克,现有 10%的盐水与 85%的盐水,这两种盐水各需多少?【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克,现有 10%的盐水与 85%的盐水,这两种盐水各需多少? 解:设 10%的 X 克,85%的 Y 克 X+Y=12 X*10%+Y*85%=12*45% 即:X+Y=12 X+8.5Y=54 解得:Y=5.6 答:略 【变式 2】一种 35%的新农药,如稀释到 1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水 多少千克,才能配成 1.75%的农药 800 千克? 【变式 2】一种 35%的新农药,如稀释到 1.75%时,治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水 多少千克
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