5-1 电容元件,1.数字逻辑电路中的延迟现象,产生这一现象的原因：构成逻辑门的晶体管或MOS管具有内部电容所致。,2.电容器(capacitor),绝缘介质,电容器是一种能够存储电荷乃至电场能量的器件。,理想电容器应该只具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用，因而是一种电荷与电压相约束的器件。,充电,3.电容元件,电容元件是实际电容器的理想化模型。,2.1 定义：如果在任一时刻t，一个二端元件的端电压u(t)与其存储的电荷q(t)之间的关系可以用u-q平面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电容元件。,2.2 符号,3.电容元件,2.3 线性非时变电容元件：电容元件的特性曲线是u-q平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。,即：,2.4 电容(capacitance):C,单位：法拉（F）V,C,微法( )，皮法(pF),或：,电容的VCR,在关联参考方向下：,非关联参考方向：,通常，电压、电流采用关联参考方向。,结论：某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。,电容的动态特性,电容在直流电路中相当开路隔直作用,在关联参考方向下：,所以：,1.电容电压的连续性质,电容电压的连续性质,设,电容电流波形虽然不连续，但电容电压波形却是连续的。,（电容电压不能跃变）,电容电压的连续性质：若电容电流 在闭区间 内为有界的，则电容电压 在开区间 内为连续的。特别是对任意时刻t，且 有：,证明,任取一点t，以t 和 t + dt 分别作为积分上下限，且 ta t tb 和 ta t + dt tb ，则,即,由于i(t)在ta, tb内为有界的，所以，对所有在 ta, tb内的t，必存在一个有限常数M，使|i(t)|M，因而，在曲线i(t)下由t 轴和上下限所界定的图形面积最大为Mdt , 且当dt0时，该面积也将趋于零。这就意味着当dt0时， ，亦即，在t处uc是连续的。,电容电压的记忆性质,i(t)是有界值,结论1：在某一时刻t 电容电压的数值并不只取决于该时刻的电流值，而是取决于从到t 所有时刻的电流值，即电容电压与电流的全部过去历史有关。电容电压具有“记忆”电流的性质，电容是一种记忆元件。,结论2：如果知道了初始时刻t0开始作用时的电流以及电容的初始电压uc(t0)，就能确定 t t0 时的电容电压。,例如图(a)所示，电容与一电流源相接，电流源的波形如图(b)所示，试求电容电压。设u(0)=0。,解：,(1)先写出电流的函数表达式。,(2)根据公式 进行分段积分,解（续）,解（续）,电容的瞬时功率,定义：任一时刻的功率称为瞬时功率。 电容的瞬时功率为：,某一时刻电容的储能：,假设 时电容无储能，则：,结论：电容的功率有正有负，说明电容有时吸收功率，有时放出功率。,例题,电容的储能,电容储能,0 电容不断储能,0 电容向外电路释放能量,结论：电容的能量总为正，但有时增加，有时减少。电容是无源元件。,t1t2期间电容储存或释放的能量：,电容的储能,结论：t1t2期间电容储存或释放的能量只与t1、 t2时刻的电压值有关，而与此期间内的 其他电压值无关。,结论,1、电容的储能本质使电容电压具有记忆性质； 2、电容电流在有界条件下储能不能跃变,使电容电压具有连续性质。,具有初始电压的电容等效电路,结论：一个已被充电的电容，如果已知初始电压uc(t0) =U0，则在t t0时可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为U0。又称U0为电容的初始状态。,电容的串、并联,电容的串联,根据KVL:,等效电路,其中：,为等效电路电容的初始电压，是各串联电容初始电压的代数和。,电容的串、并联,Cs 为等效电路的等效电容，其倒数为各串联电容倒数的总和。,电容的并联 （设电容初始电压为0）,根据KCL可得等效电容:,为各并联电容的总和。,电容的串、并联,例题,如图所示电路中，各电容元件的电容值均为,，,试求端口ab的等效电容。,解,例题,求如图所示电路中各电容元件上的电压。已知,解 两个1F电容并联的等效电容为：,。,根据电荷平衡原理，3F上的电荷应与,相等，所以有：,上的电荷,（A）,又因为,（B）,（A）、（B）联立可求得：,、,5-2 电感元件,电感器(inductor),把导线绕成线圈即构成电感器（电感线圈）。,电感器是存储磁场能量的器件。,理想电感器只具有产生磁通从而建立磁场的作用，因而是一种磁链与电流相约束的器件。,电感元件,电感元件是实际电感器的理想化模型。,2.1 定义：如果在任一时刻t，一个二端元件的电流i(t)与其磁链(t)之间的关系可以用i-平面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电感元件。,2.2 符号,考虑电阻的电感器模型：,2.3 线性非时变电感元件：电感元件的特性曲线是i-平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。,电感元件,即：,2.4 电感(inductance):L,单位：亨利（H）W,A,毫亨(mH)，微亨( ),或：,电感的VCR,关联参考方向：电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，电流的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则。,结论：某一时刻，电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率。,非关联参考方向：,电感的动态特性,电感在直流电路中相当于短路,任选初始时刻t0后,结论：某一时刻t 的电感电流值取决于其初始值i(t0)以及在区间t0, t的所有电压值。,电感的动态特性,1、在电感电压为有限值的情况下，电感电流不能跃变，将此性质称为电感电流的连续性。,电容、电感的对偶性,2、在某一时刻电感的储能为 。,假设 时电感无储能。,3、在某一时间段 电感储存或释放的能量为：,电感的串联（设电感初始电流为0）,根据KVL：,电感的串、并联,等效电路,其中：,为等效电感，是各串联电感的总和。,电感的并联,根据KCL：,电感的串、并联,其中：,为等效电路电感的初始电流，是各并联电感初始电流的代数和。,Lp 为等效电路的等效电感，其倒数为各并联电感倒数的总和。,电感的串、并联,试求如图所示电路端口ab的等效电感。,例题,解,将如图（a）所示电路化为最简形式。,例题,（a）,（b）,解 等效电容为：,等效电感为：,等效电路如图（b）所示。,5-3 忆阻元件,至此，我们已经介绍了三种无源元件电阻R、电 容C和电感L，这些元件把电路的基本变量联系了起来 如图：,电路基本变量之间关系结构图,和q之间还没有一个元件能将其联系起来,只有,元件对偶,和q之间存在类似R、L、C的第四类基本电路元件，,并将其称为忆阻器，定义如下：,将M 称为忆阻，M是q的函数。并推出如下关系：,忆阻元件的符号下图所示。,忆阻元件,加州大学伯克利分校的华裔科学家蔡少棠,提出在,忆阻元件,忆阻器的某些基本特性为：是耗能元件；具有记忆性； 只有非线性忆阻器才有实际意义；只在交变状态才 能正常工作,直到2008年5月1日，来自惠普实验室的四位科学家在 Nature杂志上发表了题为“The missing memristor found” 的文章，宣布研制出了纳米尺度的忆阻元件。惠普实 验室发现的忆阻器可以在纳米尺度上实现开关，这将 极大地缩小存储器的体积，因此，对数字计算机的发 展可能具有深远意义。,忆阻元件,5-4 换路定则及初始值的确定,电路通常都工作在一种稳定的工作状态，如果由于 某种原因，例如电源或某部分电路的接通或断开、 电路元件参数的改变等使电路的工作状态发生变化， 使其由一种工作状态变化到另外一种工作状态，将 这种工作状态的改变称为换路 。,在换路过程中，电路中的电量随时间而变化，所以 我们把这个变化的过程称为过渡过程或瞬态。把对 电路过渡过程的分析称为电路的瞬态分析。,换路,在电容电流和电感电压为有界值的情况下，电容电压 不能跃变，电感电流不能跃变，我们将这一性质称为 换路定则。用公式表示如下：,在直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路， 由此可以得到,时刻的等效电路，并据此计算初始,状态,和,。,换路定则,时刻的等效电路是在 时刻将电路中的电容用电压值等于 的电压源代替，电感用电流值等于 的电流源代替，独立源则取其在 时的值得到的电路。,例题1,如图（a）所示电路，开关S在,时刻打开，S打开,前电路已处于稳态，求开关打开后电路中各元件的,电压值。,（a）,解 开关打开前电容开路，所以,例题1,开关打开后的,等效电路如图（b）所示。此时,；,；,（b）,例题2,求如图（a）所示电路中的,、,、,和,（a）,（b）,解 t = 0时，开关闭合。,时，开关未闭合，电感短路，,等效电路如图,时：,，,所示。,（b）,例题2,，,，,因为,所以,的单位换算说明如下：,法拉第电磁定律：导体回路中感应电动势大小与穿过导体回路磁通量的变化率成正比,通过对前面例题的求解，可以总结出求初始值的计算步骤如下： 1）由,；,等效电路计算,和,3）画出,2）根据换路定则，,，,；,等效电路，其中，电容用电压值为,的电压源代替，电感用电流值为,的电流源,代替；,4）用分析直流电路的方法计算待求量。,计算步骤,5-5 一阶电路的零输入响应,内容提要,RC电路的零输入响应,RL电路的零输入响应,小结,几个定义,如果电路中除了电阻元件外，还含有电容、电感这些动态元件，则由于动态元件电压电流之间的微积分关系，此时就需要用微分方程进行描述。我们将至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。通常含有一个动态元件的电路用一阶微分方程描述，称其为一阶动态电路。,1.几个定义,1.几个定义,t t0时的RC串联电路,说明：us在 t = t0时可能不连续，但电容电压却是连续的，,零输入响应,零状态响应,1.几个定义,零状态响应 (zero state response-z.s.r) ：在零初始状态下，仅由外加激励引起的响应。,零输入响应(zero input response-z.i.r)：在没有外加激励情况下，仅由非零初始状态引起的响应。,全响应 (complete response-c.r) ：零输入响应与零状态响应之和。,因为零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的，所以，当电路中存在耗能元件时，有限的储能终将被消耗殆尽，零输入响应最终为零。所以，零输入响应是一个放电过程。,返回,状态变量(state variable), 电容、电感都属于动态元件元件的 VCR涉及对电压、电流的微分或积分。,至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。, 在动态电路中，电容电压和电感电流是电 路的状态变量。, 在电路及系统理论中，状态变量是指一组最 少的变量，若已知它们在t0时刻的数值（初 始状态），则根据所有在t t0时的输入就能 确定在t t0时电路中的任何电路变量。,2.RC电路的零输入响应,KVL方程:,解得:,其中:,电路中的电流:,放电电压、电流曲线:,2.RC电路的零输入响应,2.RC电路的零输入响应,时间常数：,时间常数的单位：,称为电路的固有频率 (natural frequency),电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小， 越大，衰减越慢，反之则越快。,t = 时，电压下降为初始值的36.8%。,工程上常取t = (4 5 ) 作为放电完毕所需时间。,返回,不同时间常数时的放电曲线,3.RL电路的零输入响应,KVL方程:,3.RL电路的零输入响应,放电曲线,解得:,其中:,电感电压（非关联参考方向）:,电路的固有频率：,解：,根据换路定则：,返回,例题,例题,如图所示电路中，已知,；,求,时的,和,。,（a）,解,时，电容开路,例题,