第十章 微分方程 第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程,如果二阶线性微分方程为,y + py + qy = f(x) ，,其中 p、 q 均为常数，,则称该方程为二阶常系数线性微分方程.,f (x) 称为自由项，当 f (x) 不恒等于0 时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，,当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程.,定理 如果函数 y* 是常系数线性非齐次方程 y + p y + q y = f (x)的一个特解，,y = Y + y*，,是常系数线性非齐次方程的通解.,Y 是该方程所对应的常系数线性齐次方程的通解，,则,前面我们介绍了下面的定理面：,因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1) 求常系数线性齐次方程 y + p y + q y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，,得该方程的通解,(2) 求常系数线性非齐次方程 y + p y + q y = f (x) 的一个特解 y*.,那么，方程的通解为 y = Y + y*.,Y=C1 y1 + C2 y2.,下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函数形式时，如何求特解：,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,其中,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,例 1求方程 y + y + y = 2e2x 的一个特解.,解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,提示,因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得,例2 求微分方程y2y3y3x1的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,b0 xb12b0 xb13b0 xb1,3b0 x2b03b1,2b03b0 x3b1,3b0 x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b11,特解形式,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例3,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,