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数列和不等问题(教师版)一先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理)例1正数数列的前项的和,满足,试求:(1)数列的通项公式;(2)设,数列的前项的和为,求证:解:(1)由已知得,时,作差得:,所以,又因为为正数数列,所以,即是公差为2的等差数列,由,得,所以(2),所以真题演练1:(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,,()求首项与通项;()设,证明:.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3, , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2 再由有 Sn1=an12n+, n=2,3,4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 1)化简得:,故数列是以为首项, 公比为的等比数列.故 数列的通项公式为:.观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和。而左边=,如果我们把上式中的分母中的去掉,就可利用等比数列的前n项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:,因此,可将保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和。这里需要对进行分类讨论,(1)当为偶数时, (2)当是奇数时,为偶数,所以对任意整数,有。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.(07武汉市模拟)定义数列如下:求证:(1)对于恒有成立; (2)当,有成立; (3)分析:(1)用数学归纳法易证。 (2)由得: 以上各式两边分别相乘得: ,又 (3)要证不等式,可先设法求和:,再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。数列和不等问题(学生版)一先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理)例1正数数列的前项的和,满足,试求:(1)数列的通项公式;(2)设,数列的前项的和为,求证:真题演练1:(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,,()求首项与通项;()设,证明:.二先放缩再求和1放缩后成等比数列,再求和例2等比数列中,前n项的和为,且成等差数列设,数列前项的和为,证明:真题演练2:(06福建卷理科22题)已知数列满足(I)求数列的通项公式;(II)若数列滿足,证明:数列是等差数列;()证明:.2放缩后为“差比”数列,再求和例3已知数列满足:,求证:3放缩后成等差数列,再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证:;(2) 求证:练习:1.(08南京一模22题)设函数,已知不论为何实数,恒有且.对于正数列,其前n项和,.() 求实数b的值;(II)求数列的通项公式;()若,且数列的前n项和为,试比较和的大小并证明之.2.(04全国)已知数列的前项和满足:, (1)写出数列的前三项,;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对任意的整数,有3.(07武汉市模拟)定义数列如下:求证:(1)对于恒有成立; (2)当,有成立; (3)10
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