初中尺规作图总结 尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 1. 在几何中，我们把只限定用直尺 （无刻度）和圆规来画图的方法， 称为尺规作图 其 中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧由此可知，尺规 作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操 作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的 2. 基本作图： （1）用尺规作一条线段等于已知线段； （2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1. 用直尺作图的几何语言： 过点、点作直线；或作直线；或作射线； 连结两点；或连结； 延长到点；或延长（反向延长）到点，使；或延长交 于点； 2. 用圆规作图的几何语言： 在上截取； 以点为圆心，的长为半径作圆（或弧）； 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； 分别以点、点为圆心，以、的长为半径作弧，两弧相交于点、 . 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1. 已知：当作图是文字语言叙述时， 要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条 件； 2. 求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3. 作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程. 当不要求写作法时，一般要保留 作图痕迹 . 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草 图寻找作法 . 在目前，我们只要能够写出已知， 求作，作法三步（另外还有第四步证明） 就可以了， 而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图 题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本, 最常用的尺 规作图, 通常称 基本作图 。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段 AB ，使 AB = a . 作法： （1）作射线 AP ； （2）在射线 AP上截取 AB=a . 则线段 AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点 O ，使 MO=NO（即 O是 MN 的中点） . 作法： （）分别以 M 、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于 P，Q ； （）连接 PQ交 MN 于 O 则点 O就是所求作的的中点。 （试问： PQ与有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图， AOB ， 求作：射线 OP, 使AOP BOP （即 OP平分 AOB ）。 作法： （1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交 OA ，OB于 M ，N； （2）分别以 M 、为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交AOB 内于； （1）作射线 OP 。 则射线 OP就是 AOB 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法） 题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作： ABC ，使 AB = c ，AC = b，BC = a. 作法： （1）作线段 AB = c ； （2）以 A为圆心 b 为半径作弧， 以 B为圆心 a 为半径作弧与 前弧相交于 C； （3）连接 AC ，BC 。 则ABC就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, . 求作： ABC ，使 A=，AB=m ，AC=n. 作法： （1）作 A=； （2）在 AB上截取 AB=m ,AC=n ； （3）连接 BC 。 则ABC就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，线段 m . 求作： ABC ，使 A=，B=,AB=m. 作法： （1）作线段 AB=m ； （2）在 AB的同旁 作A=，作 B=， A与B的另一边相交于C 。 则ABC就是所求作的图形（三角形） 。 初中尺规作图典型例题归纳 典型例题一 例已知线段 a、b，画一条线段，使其等于ba2 分析所要画的线段等于ba2 ，实质上就是bba 画法：1画线段aAB2在 AB的延长线上截取bBC2 线段 AC就是所画的线 段 说明 1尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去 2其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基 本作图 典型例题二 例如下图，已知线段 a 和 b，求作一条线段 AD使它的长度等于 2ab 错解如图（ 1） ， （1）作射线 AM ； （2）在射线 AM上截取 AB =BC =a，CD =b，则线段 AD即为所求 错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在 求线段差时，要交待截取的方向 图（1）图（2） 正解如图（ 2） ， （1）作射线 AM ； （2）在射线 AM上，顺次截取 AB =BC =a； （3）在线段 CA上截取 CD =b，则线段 AD就是所求作的线段 典型例题三 例求作一个角等于已知角 MON （如图 1） 图（1）图（2） 错解如图（ 2） ， （1）作射线 11M O； （2）在图（ 1） ，以 O为圆心作弧，交 OM 于点 A，交 ON于点 B； （3）以 1 O为圆心作弧，交 11M O于 C ； （4）以 C为圆心作弧，交于点 D ； （5）作射线DO1 则DCO1即为所求的角 错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某 点为圆心，以其长为半径作弧 正解如图（ 2） ， （1）作射线 11M O； （2）在图（ 1）上，以 O为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点 A， 交 ON于点 B； （3）以 1 O为圆心， OA的长为半径作弧，交 11M O于点 C； （4）以 C为圆心，以 AB的长为半径作弧，交前弧于点D； （5）过点 D作射线DO1 则DCO1就是所要求作的角 典型例题四 例如下图，已知 及线段 a，求作等腰三角形，使它的底角为，底边为 a 分析先假设等腰三角形已经作好， 根据等腰三角形的性质， 知两底角 B=C =， 底边 BC =a，故可以先作 B=，或先作底边 BC =a 作法如下图 （1）MBN =； （2）在射线 BM上截取 BC =a； （3）以 C为顶点作 PCB =，射线 CP 交 BN于点 AABC 就是所要求作的等腰三角形 说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再 根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤 典型例题五 例如图（1） ，已知直线 AB及直线 AB外一点 C，过点 C作 CD AB （写出作法，画出 图形） 分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角ECD =EFB 即可 作法如图（ 2） 图（1）图（2） （1）过点 C作直线 EF ，交 AB于点 F； （2）以点 F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点 P，交 EF于点 Q ； （3）以点 C为圆心，以 FP为半径作弧，交CE于 M点； （4）以点 M为圆心，以 PQ为半径作弧，交前弧于点 D； （5）过点 D作直线 CD ，CD就是所求的直线 说明作图题都应给出证明， 但按照教科书的要求， 一般不用写出， 但要知道作图的原由 典型例题六 例如下图， ABC中，a=5cm ，b=3cm ，c=3.5cm ，B=36 ，C=44 ，请你从中选 择适当的数据，画出与 ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但 要在所画的三角形中标出用到的数据） 分析本题实质上是利用原题中的5 个数据，列出所有与 ABC全等的各种情况，依 据是 SSS 、SAS 、AAS 、ASA 解与ABC 全等的三角形如下图所示 典型例题七 例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化拟从点 A出发， 将ABC分成面积相等的三个三角形， 以便种上三种不同的花草， 请你帮助规划出图案 （保 留作图痕迹，不写作法） （2003年，桂林） 分析这是尺规作图在生活中的具体应用要把ABC分成面积相等的三个三角形， 且都是从 A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相 等，所以只要作出BC边的三等分点即可 作法如下图， 找三等分点的依据是平行线等分线段定理 典型例题八 例已知AOB ，求作 AOB 的平分线 OC 错解如图（ 1） 作法（1）以 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB于 D、E两点； （2）分别以 D、E为圆心，以大于 2 1 DE的长为半径作弧，两弧相交于C点； （3）连结 OC ，则 OC就是 AOB 的平分线 错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误作法（3）中连结 OC ，则 OC是一 条线段，而角平分线应是一条射线 图（1）图（2） 正解如图（ 2） （1）以点 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB于 D、E两点； （2）分别以 D、E为圆心，以大于 2 1 DE的长为半径作弧，两弧交于C点； （3）作射线 OC ，则 OC 为AOB 的平分线 典型例题九 例如图（1）所示，已知线段a、b、h（hb） 求作 ABC ，使 BC =a，AB =b， BC边上的高 AD =h 图（1） 错解如图（ 2） ， （1）作线段 BC =a； （2）作线段 BA =b，使 AD BC且 AD =h 则ABC 就是所求作的三角形 错解分析不能先作 BC ；第 2 步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据； 未考虑到本题有两种情况 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如 本题先作高 AD ，再作 AB ，最后确定 BC 图（2）图（3） 正解如图（ 3） （1）作直线 PQ ，在直线 PQ上任取一点 D，作 DM PQ ； （2）在 DM 上截取线段 DA =h； （3）以 A为圆心，以 b 为半径画弧交射线DP于 B； （4）以 B为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线BP和射线 BQ于 1 C和 2 C； （5）连结 1 AC、 2 AC，则 1 ABC（或 2 ABC）都是所求作的三角形 典型例题十 例如下图，已知线段 a，b，求作 RtABC ，使 ACB =90，BC =a，AC =b（用直尺和 圆规作图，保留作图痕迹） 分析本题解答的关键在于作出ACB =90，然后确定 A、B两点的位置， 作出 ABC 作法如下图 （1）作直线 MN ： （2）在 MN 上任取一点 C，过点 C作 CE MN ； （3）在 CE上截取 CA =b，在 CM 上截取 CB =a； （4）连结 AB ，ABC就是所求作的直角三角形 说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序若把 握不好作图顺序，要先画出假设图形 典型例题十一 例如下图，已知钝角 ABC ，B是钝角 求作： （1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形） 分析（1）作 BC边上的高，就是过已知点A作 BC边所在直线的垂线； （2）作 BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线 作法如下图 （1）在直线 CB外取一点 P，使 A、P在直线 CB的两旁； 以点 A为圆心， AP为半径画弧，交直线CB于 G 、H两点； 分别以 G 、H为圆心，以大于 2 1 GH的长为半径画弧，两弧交于E点； 作射线 AE ，交直线 CB于 D点，则线段 AD就是所要求作的 ABC中 BC边上的高 （2）分别以 B、C为圆心，以大于 2 1 BC的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N两点； 作直线 MN ，交 BC于点 F； 连结 AF ，则线段