人教版数学六年级下册第五单元 数学广角“鸽巢问题” 专门安排 “数学广角” 这一单元 ,向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的旧教材 相比 ,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍 “鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加 以“模型化” ,会用“鸽巢问题” 加以解决。 在数学问题中,有一类与 “存在性” 有关的问题。 在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人 )的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或 人)。这类问题依据的理论,我们称之为 “抽屉原理” 。 “抽屉原理” 最先是由19 世界的德国数 学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称为“鸽巢问题” 。 “鸽 巢问题” 的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题” 的应用却是千变万 化的 ,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此 , “ 鸽巢问题” 在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。 “抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时, 要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理” 可以解决的范畴。 能不能将这个问题同 “抽 屉原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中 ,应有意识地让学生理解“抽 屉原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握 本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结 合起来 ,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 1.引导学生通过观察、猜测、 实验、 推理等活动 ,经历探究 “抽屉原理” 的过程 ,初步了解 “抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2.提高学生解决简单的实际问题的能力。 3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。 1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画 草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的 雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准 备。 2.有意识地培养学生的“模型” 思想。 当我们面对一个具体问题时,能否将这个具体问题 和“抽屉问题”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“抽屉问题”的 “一般化模型”之 间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,是解决该问题的关键。 教学时 ,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴;再思考如何寻 找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的 过程 ,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体现。 3.要适当把握教学要求。 “抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。 因此 ,用 “抽屉原理” 解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如 ,有时要找到实际问题与“抽 屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了 ,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。 因此 ,教学时 ,不必过于要求学生“说理” 的严密性 ,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就 可以了 ,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。 1 鸽巢问题1 课时 2 “鸽巢问题”的具体应用1 课时 鸽巢问题 教材第 68、第 69 页。 1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。 2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅 力。 重点 :引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点 :找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。 铅笔、笔筒、书等。 师:同学们 ,老师给大家表演一个“魔术”。一副牌 ,取出大小王 ,还剩 52 张牌 ,请 5 个同学 上来 ,每人随意抽一张,我知道至少有2 人抽到的是同花色的,相信吗 ?试一试。 师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。 师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这 类问题 ,我们先从简单的情况入手研究。 【设计意图 :紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术” 开始 ,激活认知热情。 使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】 1. 讲授例 1。 (1)认识“抽屉原理” 。(课件出示例题 ) 把 4 支铅笔放进3 个笔筒中 ,那么总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔。 学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。 教师指出 :上面这个问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给出 证明。 (2)学生分小组活动进行证明。 活动要求 : 学生先独立思考。 把自己的想法和小组内的同学交流。 如果需要动手操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记 录等 ) 在全班交流汇报。 (3)汇报。 师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的? 列举法证明。 学生证明后 ,教师提问 :把 4 支铅笔放进3 个笔筒里 ,共有几种不同的放法? (共有 4 种不同的放法。 在这里只考虑存在性问题,即把 4 支铅笔不管放进哪个笔筒,都视 为同一种情况 ) 根据以上 4 种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进2 支铅笔 ) 数的分解法证明。 可以把4 分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个数 中,至少有一个数是不小于2 的。 反证法 (或假设法 )证明。 让学生试着说一说,教师适时指点: 假设先在每个笔筒里放1 支铅笔。那么 ,3 个笔筒里就放了3 支铅笔。还剩下1 支铅笔 , 放进任意一个笔筒里,那么这个笔筒里就有2 支铅笔。 (4)揭示规律。 请同学们继续思考: 把 5 支铅笔放进4 个笔筒中 ,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么 ? 如果把 6 支铅笔放进5 个笔筒中 ,结果是否一样呢?把 7 支铅笔放进6 个笔筒中呢 ?把 10 支铅笔放进9 个笔筒中呢 ?把 100 支铅笔放进99 个笔筒中呢 ? 学生回答的同时教师板书: 数量 (支)笔筒数 (个)结果 5总有一个笔筒里 提问 :观察板书 ,你有什么发现? 小组讨论 ,引导学生得出一般性结论。 (只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔 ) 追问 :如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多 3,多 4 呢? 学生根据具体情况思考并解决此类问题。 教师小结。 上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理” ,可以概括为 :把 m 个物体任意放 到 m-1 个抽屉里 ,那么总有一个抽屉中至少放进了2 个物体。 2.教学例 2。 师:把 7 本书放进3 个抽屉 ,不管怎么放 ,总有一个抽屉里至少放进3 本书。为什么?自己 想一想 ,再跟小组的同学交流。 学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。 组织全班交流,学生可能会说 : ?我们可以动手操作,选用列举的方法: 第一个抽屉765433 第二个抽屉011112 第三个抽屉001232 通过操作 ,我们把 7 本书放进3 个抽屉 ,总有一个抽屉至少放进3 本书。 ?我们可以用数的分解法:把 7 分解成三个数 ,有(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2) 这样六种情况。在任何一种情况中,总有一个数不小于3。 师:同学们 ,通过上面两种方法,我们知道了把7 本书放进3 个抽屉 ,不管怎么放 ,总有 1 个 抽屉里至少放进3 本书。但随着书的本书增多,数据变大 ,如果有 8 本书会怎样呢 ?10 本呢 ?甚 至更多呢 ?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐 )我们能不能找到一种适用各种数据的一般方 法呢 ?请同学们自己想一想。 学生进行独立思考。 师:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么算 式表示这一平均分的过程呢? 生:73=2 1 师:有余数的除法算式说明了什么问题? 生:把 7 本书平均放进3 个抽屉 ,每个抽屉放2 本书 ,还剩 1 本 ;把剩下的1 本不管放到哪 个抽屉 ,总有一个抽屉至少放3 本书。 师:如果有 8 本书会怎样呢 ? 生:83=2 2,可以知道把8 本书平均放进3 个抽屉 ,每个抽屉放2 本书 ,还剩 2 本;把剩 下的 2 本中的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3 本书。 师:10 本书呢 ? 生:103=3 1,可知把 10 本书平均放进3 个抽屉 ,每个抽屉放3 本书 ,还剩 1 本;把剩下 的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4 本书。 师:你发现了什么 ? 师生共同小结:要把 a 个物体放进n 个抽屉 ,如果 an=b c(c0),那么一定有一个抽屉 至少放 (b+1)个物体。 【设计意图 :在渗透研究问题、探索规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,展示 了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想,突出 了学习方法】 师:通过今天的学习,你有什么收获 ? 生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1 的物体个数。 师:你能在生活中找出这样的例子吗? 学生举例说明。 师:之所以把这个规律称之为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理 解决的问题 ,研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧! 【设计意图 :研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后,请学生总结这 节课学会的规律,再让学生举一些能用 “鸽巢问题” 解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】 鸽巢问题 A类 1.1001 只鸽子飞进50 个鸽舍 ,无论怎么飞 ,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里面 至少有 ()只鸽子。 2.从 8 个抽屉中拿出17 个苹果 ,无论怎么拿 ,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉, 从它里面至少拿出了()个苹果。 3.从 ()(填最大数 )个抽屉中拿出25 个苹果 ,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中 至少拿了7 个苹果。 (考查知识点 :鸽巢问题 ;能力要求 :灵活运用所学知识解决简单的具体问题) B类 你能证明在任意的37 人中 ,至少有 4 人的属相相同吗?说明理由。 (考查知识点 :鸽巢问题 ;能力要求 :灵活运用所学知识解决生活中的实际问题) 课堂作业新设计 A 类: 1. 212. 33. 4 B 类: 把 12 个属相看作12 个抽屉。 37 12=3 13+1=4即在任意的37 人中 ,至少有 4 人属相相同。 教材习题 第 68 页“做一做” 1. 我们可以假设3 只鸽子分别飞进了三个鸽笼,那么剩余的2 只鸽子无论飞进哪个鸽笼, 都会出现“总有一个鸽笼至少飞进了2 只鸽子”这个结果。 2. 因为 5人抽 4 种花色的扑克牌,假设其中的4 人每人分别抽到其中一种花色,那么剩下 的 1 个人无论抽到什么花色,就出现“至少有2 张牌是同花色”这个结果。 第 69 页“做一做” 1. 11 4=2(只) 3(只 ),可知如果每个鸽笼飞进2 只鸽子 ,剩下的 3 只鸽子飞进其中任意 3 个鸽笼 ,那么至少有3 只鸽子飞进了一个鸽笼。 2. 5 4=1(人) 1(人),可知如果每把椅子上坐1 人,剩下的1 人再生其中任意的1 把椅 子上 ,那么至少有1 把椅子上坐了2 人。 “鸽巢问题”的具体应用 教材第 70、第 71 页。 1.在了解简单的“抽屉原理”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。 2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3.通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,