异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法： “补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体 来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法直接平移法 1在空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF 3，求 AD、BC 所成角的大小 解：解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在EFG 中 EF3 FGEG1 EGF120 AD 与 BC 成 60的角。 2正ABC 的边长为 a，S 为ABC 所在平面外的一点，SASBSCa，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点求异面直线 SA 和 EF 所成角 答案：45 3S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SASBSC，且 ASBBSCCSA 2 ，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值 证明：证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QNSM QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ，设 SCa，在BQN 中 BNa 2 5 NQ 2 1 SM 4 2 a BQa 4 14 COSQNB 5 10 2 222 NQBN BQNQBN 4如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M、N 分别是 A1B1和 A1C1的中点， 若 BCCACC1，求 BM 与 AN 所成的角 解：解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG， 易证GNA 就是 BM 与 AN 所成的角 设：BCCACC12，则 AGAN5，GNBM6， cosGNA 10 30 562 556 。 B M A N C S A B C D A1 B1 C1 D1 E F 5如图，在正方体 1111 DCBAABCD 中，E、F 分别是 1 BB 、CD 的中点求AE与FD1所成 的角。 证明证明：取 AB 中点 G，连结 A1G，FG， 因为 F 是 CD 的中点，所以 GFAD， 又 A1D1AD，所以 GFA1D1， 故四边形 GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。 设 A1G 与 AE 相交于 H，则A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1的中点，所以 RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90, 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。 6如图 128 的正方体中，E 是 AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA成异面直线? (2)求直线 BA和 CC所成的角的大小； (3)求直线 AE 和 CC所成的角的正切值； (4)求直线 AE 和 BA所成的角的余弦值 解解：(1) A平面 BC，又点 B 和直线 CC都在平面 BC内，且 BCC, 直线 BA与 CC是异面直线 同理，正方体 12 条棱中的 CD、DD、DC、AD、BC 所在的直线都和直线 BA成异面直线 (2) CCBB， BA和 BB所成的锐角就是 BA和 CC所成的角 ABB=45 BA和 CC所成的角是 45 (3) AABBCC，故 AE 和 AA所成的锐角AAE 是 AE 和 CC所成的角 在 RtAAE 中，tanAAE，所以 AE 和 CC所成角的正切值是 A E AA 2 1 2 1 (4)取 BC的中点 F，连 EF、BF，则有 EFError!ABError!AB, ABFE 是平行四边形，从而 BFError!AE, 即 BFAE 且 BF=AE. BF 与 BA所成的锐角ABF 就是 AE 和 BA所成的角 设正方体各棱长为 2，连 AF，利用勾股定理求出ABF 的各边长分别为 AB2，AFBF，由余弦定理得：25 cosABF 5 10 5222 )5()5()22( 222 7. 长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的 大小。 AB F M (图 129) 55 B (图 128) A A B C D CD F E 解法一：解法一：如图，过 B1点作 B1EBC1交 CB 的延长线于 E 点。 则DB1E 或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成角，连结 DE 交 AB 于 M，DE=2DM=3 ，5 DB1E= DB1E=。cos 7 34 170 cosarc 7 34 170 解法二：解法二：如图，在平面 D1DBB1中过 B 点作 BEDB1交 D1B1的延长线于 E，则C1BE 就是异面直线 DB1与 BC1所成的角，连结 C1E，在B1C1E 中， C1B1E=135，C1E=3，C1BE=，C1BE=。5cos 7 34 170 cosarc 7 34 170 练习： 8. 如图，PA矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=10，求 AD 与 PC 所成角的余切值为。 9. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，若棱 B B1=BC=1，AB=，求 D B 和 AC 所成角的余弦3 值. 中位线平移法中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为 平面问题，解三角形求之。 解法一：解法一：如图连结 B1C 交 BC1于 0，过 0 点作 OEDB1，则BOE 为所求的异面直线 DB1与 BC1所成的角。连结 EB，由已知有 B1D=，BC1=5，BE=，BOE= BOE=34 3 5 2 cos 7 34 170 cosarc 7 34 170 解法二解法二：如图，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OEDB1，过 E 点作 EFC1B，则 OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过 O 点作 OMDC，连结 MF、OF。则 OF=，OEF=，异面直线 B1D 与 BC1所成的角为。 73 2 cos 7 34 170 cosarc 7 34 170 解法三：解法三：如图，连结 D1B 交 DB1于 O，连结 D1A，则四边形 ABC1D1为平行四边形。在 平行四边形 ABC1D1中过点 O 作 EFBC1交 AB、D1C1于 E、F，则DOF 或其补角就 是异面直线 DB1与 BC1所成的角。在ADF 中 DF=，DOF=，DOF=。 3 5 2 cos 7 34 170 cosarc 7 34 170 课堂练习 10. 在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。 补形平移法补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。 E D B C A 解法一：解法一：如图，以四边形 ABCD 为上底补接一个高为 4 的长方体 ABCD-A2B2C2D2，连结 D2B，则 DB1D2B，C1BD2或其补角就是异面直线 DB1与 BC1所成的角，连 C1D2，则C1D2C2为 Rt，C1BD2=，异面直线 DB1与 BC1所成的角是cos 7 34 170 。cosarc 7 34 170 课堂练习： 11. 求异面直线 A1C1与 BD1所成的角的余弦值。 在长方体 ABCD-A1B1C1D1的面 BC1上补上一个同样大小的长 方体，将 A1C1平移到 BE，则D1BE 或其补角就是异面直 线 A1C1与 BD1所成的角，在BD1E 中，BD1=3， 二、利用模型求异面直线所成的角二、利用模型求异面直线所成的角 模型模型 1 引理：已知平面引理：已知平面 的一条斜线的一条斜线 a 与平面与平面 所成的角为所成的角为 1，平面，平面 内的一条直线内的一条直线 b 与与 斜线斜线 a 所成的角为所成的角为 ，与它的射影，与它的射影 a所成的角为所成的角为 2。求证：。求证：cos= cos1cos2。 在平面的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB，垂足为 O、B 奎屯 王新敞 新疆 连接 OB，则 OBb. 在直角AOP 中，. AP AO 1 cos 在直角ABC 中，. AO AB 2 cos 在直角ABP 中，. AP AB cos 所以 coscoscos 21 AP AB AO AB AP AO 所以 奎屯 王新敞 新疆 coscoscos 21 证明：设 PA 是 的斜线，OA 是 PA 在 上的射影， OB/b，如图所示。则PAO=1，PAB=，OAB=2， P b A B O 2 1 c b a P O A B 过点 O 在平面 内作 OBAB，垂足为 B，连结 PB。 可知 PBAB。所以 cos1=， cos=，cos2=。 PA OA PA AB OA AB 所以 cos= cos1cos2。 利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 。 需：过 a 的一个平面 ，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 内的射影。 12. 如图，MA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线 MB 与 AC 所成的角。 解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB， 直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45， 直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45， 所以直线 AC 与直 MB 所成的角为 ，满足 cos=cos45 cos45=，所以直线 AC 与 MB 所成的角为 60。 2 1 13. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中 111 ABCABC 1 AABCBC 点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）AB 1 CC （A） （B） （C） (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 由三角余弦定理，易知.故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 14. 如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形，BAD=90， AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30角，AEPD 于 D。求 异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。 解：过 E 作 AD 的平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD 可知， 直线 AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF，直线 AE 与平面 ABCD 所 成的角为DAE，其大小为 60， 射影 AF 与直线 CD 所成的角为CDA，其大小为 45，所以直线与直 线所成的角 满足 cos=cos60 cos45=，所以其大小为 4 2 arccos。 4 2 P E D FA BC B C B C A1 1 1 A D AB CD M 模型 2 定理：四面体 ADBCD 两相对棱 AC、BD 间的夹角为，则有 证明： CADACAABCADAABCADB DAABDB COSDBDBCADB 而 222 2222222222 CDABBCADCDACADBCACAB 所以有： 15. 长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线 A1C1与 BD1所成 的角。 解：连结 BC1、A1B 在四面体为，易求得 由定理得： 所以 二、向量法求异面直线所成的角二、向量法求异面直线所成的角 16. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1及 CDD1C1的中 心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。 解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个 点上。 作