第三章 金属塑性变形的力学基础,第四节 本构方程,第一讲 增量理论本构方程,弹性应力应变关系特点,塑性应力应变关系特点,增量理论本构方程,在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即,广义虎克定律,一般应力状态，用广义虎克定律：,E弹性模量；,v泊松比；,G切变模量（剪切模量）；,弹性应力应变关系,弹性应力应变关系,物体弹性变形时其单位体积变化率与平均应力成正比，说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。,弹性应力应变关系,弹性应力应变关系,广义虎克定律的张量形式,弹性应力应变关系,广义虎克定律的其它形式,弹性应力应变关系,弹性应力应变关系,弹性应变强度,令,弹性应力应变关系,应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合; 变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变之间存在单值关系; 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比v0.5;,塑性应力应变关系,弹性变形-对应，如c永远对应 c,塑性变形,理想 s对应任何应变,硬化,s e (加载） e,f e (卸载） f,塑性应力应变关系,相同的应力状态（2、4、5）， 对应不同的应变状态； 相同的应变状态（1、2及3、4） 对应不同的应力状态。,塑性应力应变关系,1、应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合；,2、变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力-应变关系不再保持单值关系；,3、塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5；,4、对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的 屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服 应力要高。,应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合,应力与应变之间的关系是非线性的，全量应变主轴与应力主轴不一定重合,变形是可逆的，与应变历史无关，应力与应变之间存在单值关系,变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力-应变关系不再保持单值关系,弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比v0.5,塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5,对于应变硬化材科，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高,应力应变关系增量理论,增量理论是描述材料处于塑性状态时， 应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。,应力应变关系增量理论,1870年，圣维南(B.Saint Vonant)提出 应力主轴与应变增量主轴重合，而不与全量应变主轴重合。 应力应变速率方程,1871年，列维(M.Levy)提出应力应变增量关系。,1913年，米塞斯(Mises)提出与列维相同的方程进入应用阶段。 Levy-Mises方程,1924年，普朗特(L.Prandtl)提出平面变形问题的弹塑性增量方程，劳斯(A.Reuss)推广至一般状态。 Prandtl Reuss方程,应力应变关系增量理论,1、Levy-Mises理论（Levy-Mises方程）,1)材料是刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量。,2)材料符合Mises屈服准则，即,3)每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。,4)塑性变形时体积不变，即,在上述假设基础上，假设应变增量与应力偏量成正比，得Levy-Mises方程,d瞬时非负比例系数，加载时 d0，卸载时d=0,应力应变关系增量理论,Levy-Mises方程的其它形式,应力应变关系增量理论,应力应变关系增量理论,应力应变关系增量理论,应力应变关系增量理论,1)Levy-Mises方程仅适用于理想塑性材料， 只给出应变增量与应力偏量之间的关系；,2)由dij只能求出ij,而不能求出ij,3)由ij只能求出dij的比,而不能求出dij,证明以前提到的结论,1)平面变形：设dz=0,按体积不变条件 dx +dy=0,2)均匀轴对称：,应力应变关系增量理论,2、应力-应变速率方程（Saint- Venant 塑性流动方程）,同除以dt,应变速率张量,等效应变速率（应变速率强度）,Saint- Venant 塑性流动方程,应力应变关系增量理论,3、Prandtl-Reuss理论（ Prandtl-Reuss方程）,在Levy-Mises理论的基础上，考虑弹性变形部分。,Prandtl-Reuss方程,可写成：,应力应变关系增量理论,总结：,1) Prandtl-Reuss理论考虑了弹性变形，而Levy-Mises理论不考虑弹性变形，实质上后者是前者的特殊情况。由此看来， Levy-Mises理论仅适用于大应变，无法求弹性回跳及残余应力场问题， Prandtl-Reuss理论主要用于小应变及求解弹性回跳及残余应力问题。,2) Prandtl-Reuss理论和Levy-Mises理论都着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系。即,3)整个变形过程可由各瞬时段的变形积累而得，因此增量理论能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂加载情况。,4)上述理论仅适用于加载情况(即变形功大于零的情况)，并没有给出卸载规律，卸载情况下仍按虎克定律进行。,应力应变关系增量理论,例：已知 用Mises准则求 时屈服，并求应 变增量比。,解：,1）,代入Mises准则,2）,小结,应力、应变关系的特点 增量理论本构方程,