1 湖南省 2017 年普通高等学校对口招生考试湖南省 2017 年普通高等学校对口招生考试 数学试题(附答案)数学试题(附答案) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟.满分 120 分 一、选择题一、选择题（每小题（每小题 4 分，共分，共 40 分每小题只有一项是符合题目要求的）分每小题只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合,则等于 【答案】【答案】D, 2 , 1A4 , 32，BBA A. B. C. D. 24 , 32，4 , 3 , 14 , 3 , 2 , 1 2.已知，,则的大小关系为 【答案】【答案】B 3 2a 2 1 2b 2 ) 2 1 (ccba, A B C D cbabcacababc 3.已知 ，则 【答案】【答案】A, 0, 2 1 cossin A B C D 2 3 2 3 2 1 2 1 4.已知两条直线互相垂直，则 【答案】【答案】D1)2(2xayaxy和a A2 B 1 C0 D1 5.下列函数中，在区间上单调递增的是 【答案】【答案】C, 0 A. B. C. D. xysin x y 1 2 xy xy 3 1 log 6.已知函数的定义域为 R，则“为偶函数” 是“”的【答案】【答案】C)(xf)(xf) 1 () 1(ff A 充分必要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.不等式的解集是 【答案】【答案】D065 2 xx A B C D2xx3xx32xxx或32 xx 8.设 是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是 【答案】【答案】Bml、 A若，则 B若，则 mml,llml/,m C若，则 D若，则ml,/lm/,/mllm/ 9. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数中取 2 个不同的数，使其和为偶数，则不同的取法共有 2 A. 72 种 B. 36 种 C. 32 种 D. 16 种 【答案】【答案】D 10在三棱锥 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=1 ，则该三棱锥的ABCP 体积为 【答案】【答案】A A B C D1 6 1 3 1 2 1 二、填空题二、填空题（本大题共（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 11、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 10 名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m1.501.601.651.70 人数2242 则这些运动员成绩的平均数是_（m） 【答案】【答案】1.62 12若直线经过圆的圆心，则_06 ykx4)2() 1 22 yx（k 【答案】【答案】4 13函数的最小值为 【答案】【答案】 xxfcos211 14.若关于的不等式的解集为，则 【答案】【答案】3x32bx03xxb 15.若双曲线上存在四点 A， B， C， D， 使四边形 ABCD 为正方形，)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 则此双曲线的离心率的取值范围为 【答案】【答案】，2 三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 7 小题，其中第小题，其中第 21，22 题为选做题满分题为选做题满分 60 分解答题应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 分解答题应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分 10 分） 已知函数. 1) 1(),1, 0( 1)5(log2faaxxf a 且 （I）求的值，并写出的定义域；（II）当时，求的取值范围a xf11, 4x xf 解：解：（I）依题意，有：，解得：，11)51(log21 a f4a 由505xx得 ，的定义域为4a xf），（5 （II） 由 （1） 得 ：41,为增函数， 1)5(log2 4 xxf 1)5(log2 4 xxf 3 而314116log2)11(, 111log2)4( 44 ff 当时，的取值范围为11, 4x xf3 , 1 17. （本小题满分 10 分） 某射击运动员射击 3 次，每次射击击中目标的概率为，求： 3 2 （I）3 次射击都击中目标的概率； （II）击中次数的分布列 解：解：（I） 27 8 3 2 3 )3( ）（P （II）随机变量的分布列为： 18. （本小题满分 10 分） 已知数列为等差数列，若，求： n a 1231 , 1aaaa （I）求数列的通项公式； n a （II）设，求数列的前项和 n a nn ab) 2 1 ( n bn n S 解：解：（I）设数列的首项为，公差为，依题意，有： n a 1 ad , 1 , 1 2 1 1 111 1 d a adada a ndnaan) 1( 1 数列的通项公式为； n anan （II）= n a nn ab) 2 1 ( n n）（ 2 1 n n n nn nn 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 ) 1( S 2 ）（ 19. （本小题满分 10 分） 已知向量，向量), 1 ( ma )3 , 2(b 0123 P 27 1 9 2 9 4 27 8 4 （I）若，求的值； （II）若，求的值ba /mba )3()3aba （ 解：（1）由得：，ba /32m 2 3 m （2）由得 ba 023m 3 2 m = ），（ 3 2 13)3a ），（23 ）（），（）（5 , 1233 , 2)3( ab 135213)3()3）（）（aba 20. （本小题满分 10 分） 已知抛物线的焦点为pxyC2: 2 .0 , 2F （I）求抛物线 C 的方程； （II）过点 M（1,2）的直线 与相交于两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 的方程lCBA,l 解：解：（I）抛物线的焦点为，解得，pxyC2: 2 0 , 2F2 2 p 4p 故抛物线 C 的方程为：；xy8 2 （2）设、 ，则依题意有（2）设、 ，则依题意有)A 11 yx，（)B 22 yx ，（42 2121 yyxx， 易知若易知若直线 的斜率不存在，则直线方程为，此时，不合题意，l1x40 21 yy 由得： 即由得： 即 2 2 2 1 2 1 8 8 xy xy )(8 21 2 2 2 1 xxyy 2121 21 8 yyxx yy 2 4 88 2121 21 yyxx yy kk ABl 直线 的方程为 直线 的方程为 l02 yx 注意：第注意：第 21 题，题，22 题为选做题，请考生选择其中一题作答题为选做题，请考生选择其中一题作答 21 （本小题满分 10 分） 已知，分别为内角 A，B，C 的对边，已知，cba,ABCabc2 2 5 （I）若，且，求的面积； 90C1aABC （II）若，求的值CAsinsinCcos 解：解：（I）由，且，则，又 90C1a 222 cbaabc2 2 ，解得012 2 bb1b 2 1 2 1 S ab ABC （II）由正弦定理， c a C A C c A a sin sin sinsin 又， ，CAsinsinca 又 abc2 2 bca2 4 1 22 cos 2222 ab b ab cba C由余弦定理得： 22某公司有 40 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对乙项 目投资的倍， 且对每个项目的投资都不能低于 5 万元。 对项目甲每投资 1 万元可获得 0.2 万 3 1 元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.3 万元的利润。问 ： 该公司如何规划投资，才能使 公司获得的总利润最大？ 解 设投入甲、乙项目分别为 x 万元，y 万元，公 司 获利为 Z 万元，则yxz3 . 02 . 0 由题意得： 5 5 3 1 40 y x yx yx 作出可行域如图四边形 ABCD 所示 作直线：并平移，由图象得，当直线经过A点时Z能取得最大值， 0 l032 yx 由 解得 即 A（10,30） yx yx 3 1 40 30 10 y x 所以当（万元）时，11303 . 0102 . 0Z30,10 max yx