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,11-1 常数项级数的概念和性质,一、无穷级数的概念,1. 无穷级数的定义,设有数列un:u1, u2, , un, , 则称表达示,为一个无穷级数,简称为级数. 其中, un称为级数的一般项或通项.,若级数,的每一个项un均为常数,则称该,级数为常数项级数;若级数的每一项均为同一个,变量的函数un = un(x), 则称级数,为函数项,级数.,例1. 下列各式均为常数项级数,例2. 下列各式均为函数项级数,2. 级数的敛散性定义,无穷级数,的前n项之和:,称为级数的部分和.,若,存在,则称级数,收敛,,S称为级数的和:,若,不存在(包括为),则称级数,发散.,例3. 讨论等比级数,的敛散性.,解:等比级数的部分和为:,当公比 | r |1时,,即,当公比 | r |1时,,当公比 r =1时,,当公比 r = 1时,Sn=,a, n为奇数,0, n为偶数, 故,不存在.,综上所述,当公比| r |1时, 等比级数收敛;当公比| r |1时,等比级数发散.,例4. 讨论级数,的敛散性.,解:,而,故,,即该级数收敛.,3. 收敛级数的余项,收敛级数,称为收敛级数的余项,记为,的和S与其部分和Sn的差SSn,显然,二、级数收敛的必要条件,定理:若级数,收敛,则必有,证 设,例5. 判别,的敛散性.,解:由于,故,该级数发散.,例6. 证明调和级数,是发散的.,证 调和级数的部分和有:,由数学归纳法,得,k=0, 1, 2, ,而,故,不存在,即调和级数发散.,三、无穷级数的基本性质,1. 性质1,若c0为常数,则,有相同的敛散性,,且,证,的部分和为,的部分和为,故,从而,同时收敛或同时发散.,2. 性质2,若,其和分别为S1和S2,则级,数,且,证,的部分和为:,故,即 级数,收敛,且,例7. 因为等比级数,所以级数,例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的?,答:是发散的.,问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的?,答:不一定.,3. 性质 3,在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对收敛级数来说,它的和将改变.),证 设级数,的部分和为Sn,去掉级数的前,面m项后得到的级数,的部分和为S k:,由于Sm当m固定时为一常数,所以,故 级数,与级数,4. 性质4,对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛,且其和不变.,例9. 考虑一下几个问题:,(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗?,答:不一定.,(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散?,答:不一定发散.,(3) 如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散?,答:原级数也发散.,1. 正项级数的定义,定义:若级数,2. 正项级数收敛的充要条件,定理:正项级数,Sn有界.,则称,之为正项级数.,11-2、常数项级数的审敛法,例10. 级数,是否收敛?,解:该级数为正项级数,又有,(n=1, 2, ),故 当n1时,有,即其部分和数列Sn有界,从而,级数,3. 正项级数敛散性的比较判别法,设有正项级数,且0 un vn (n=1, 2, ),证 记, 0 un vn (n=1, 2, ), 0 Sn Gn,例11. 判断级数,的敛散性. (0x3),解:由于,又,由等比级数的敛散性,,故 原级数收敛.,例12. 讨论P一级数,(p0)的敛散性.,解:当p1时,P一级数为调和级数,它是发散的.,当0p1时,有,由比较判别法,P一级,数此时是发散的.,当p1, 按1, 2, 22, 23, , 2n, 项对P一级数加括号,不影响其敛散性:,而,于是,P一级数加括号后生成的级数的每一项均,小于以,为公比的等比级数的相应项,,故此时P一级数收敛.,综上所述,当p1, P一级数收敛;当p1时,P一级数发散.,4. 比较判别法的极限形式,或从某一项N开始). 若,(1) 0+时,,(2) =0时,,(3) =+时,,证(1) 由于,(0+),故 0, N0, 当nN时,,不妨取,运用比较判别法可知,当0+时,,具有相同的敛散性.,证(2) 由于,(=0),取=1时,N 0, 当n N时,,故由经比较判别法,当=0时,,证(3) 由于,(= ),故,M 0 (不妨取M 1) , N 0, 当n N 时,,即 0 vn un ,由比较判别法,当= 时,,例13. 判别级数,的敛散性 (a0为常数),解:因为,(即=1为常数),又,是调和级数,它是发散的,故原级数,发散.,例14. 判别级数,的敛散性,其中, x0为常数.,解:由于,而,是n=2的P一级数,它是收敛的,故原级数,5. 达朗贝尔比值判别法,设,为正项级数,极限,(1) 1时,级数收敛;,(2) 1 (包括= )时,级数发散;,(3) = 1 时,不能由此断定级数的敛散性.,例15. 判别级数,的敛散性,其中,x0为常数.,解:记,即 =01,故该级数收敛.,例16. 判别级数,的敛散性,其中,x0为常数.,解:记,即 =x2, 由达朗贝尔判别法.,当0|x|1时,1, 级数收敛.,当|x|1时,1, 级数发散.,当 | x |=1 时,=1, 但原级数紧时为,这是 n = 2 的 P 一级数,是收敛的.,综上所述,当 0 1 时,原级数发散.,6. 柯西根值判别法,设,为正项级数,极限,(1) 1时, 级数收敛;,(2) 1 (包括= )时,级数发散;,(3) =1时,不能由此断定级数的敛散性.,例17. 判别级数,的敛散性,其中, x 0 为常数.,解:记,即 = 0 1 , 故该级数收敛.,例18. 判别级数,的敛散性,其中,x0,a0为常数.,解:记,即,当xa时,,当0xa时,,当 x = a 时,=1, 但,故原级数发散.,综上所述,当 0xa 时,原级数收敛. 当 x a时,原级数发散.,五、任意项级数的敛散性,1. 交错级数及其敛散性,交错级数是各项正负相间的一种级数,它的一般形式为,或,其中,un0 (n=1, 2, ),定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数,满足条件,(1),(2) unun+1 (n=1, 2, ),则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.,(级数收敛的必要条件),证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.,1) 取交错级前2m项之和,由条件(2): unun+1,un0, 得S2m以及,由极限存在准则:,2) 取交错级数的前2m+1项之和,由条件1):,综上所述,有,例19. 讨论级数,的敛散性.,解:这是一个交错级数,,又,由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.,例20. 判别级数,的敛散性.,解:这是一个交错级数,,又,令,x2, +),则,x2, +),,故 f (x) 2, +),即有unun+1成立,由莱布尼兹判别法,该级数收敛.,2. 任意项级数及其敛散性,(1) 级数的绝对敛和条件收敛,定义:若级数,对收敛的;若级数,但级数,定理:若,(即绝对收敛的级数必定收敛),证: un |un|,从而,定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数,若,(1) 1时, 级数绝对收敛;,(2) 1 (包括= )时,级数发散;,(3) =1时,不能由此断定级数的敛散性.,例21. 判别级数,的敛散性.,解:,由P一级数的敛散性,,即原级数绝对收敛.,例22. 判别,的敛散性,其中,x1为常数.,解:记,当|x|1时,=|x|1, 原级数绝对收敛.,当|x|1时,=1, 此时不能判断其敛散性.,由达朗贝尔判别法:,但|x|1时,,从而,原级数发散.,例23. 级数,是否绝对收敛?,解:,由调和级数的发散性可知,,故,发散.,但原级数是一个收敛的交错级数:,故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.,(2) 绝对收敛级数的性质,性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变.,性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其和等于原来两个级数的和之积.,(3) 任意项级数敛散性的一个判别法,定理(迪利赫勒判别法) 设有级数,任意的 n 1 , 有un un+1, 且,又,n=1, 2, , M 0为与n无关的常数,则级数,若对,收敛.,例24. 判别级数,的敛散性,其中, x2k, kZ.,解:记,vn=cosnx, 则,n=1, 2, ,,又,而 x2k, kZ,,于是,且,故,又迪利赫勒判别法,级数,(x2k, kZ)收敛.,
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