2013 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2013 揭阳一模）已知复数 z1，z 2 在复平面内对应的点分别为 A（0，1） ，B （1，3） ，则=（）A 1+3i B 3i C 3+i D 3i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 计算题分析： 利用复数的运算法则和复数的几何意义即可得出解答： 解：由题意可得 z1=i，z 2=1+3i = =i+3故选 C点评： 熟练掌握复数的运算法则和复数的几何意义是解题的关键2 （5 分） （2013 揭阳一模）已知集合 A=x|y=log2（x+1 ），集合 ，则AB=（）A （1，+） B （1 ，1 ） C （0，+） D （0，1）考点： 交集及其运算 专题： 计算题分析： 求对数型函数的定义域化简集合 A，求解指数函数的值域化简集合 B，然后直接利用交集的运算求解解答： 解：由 A=x|y=log2（x+1）=x|x1=（1，+） ，=y|0y1=（0，1） ，所以 AB=（1，+ ）（0 ，1）=（0，1） 故选 D点评： 本题考查了交集及其运算，考查了对数型函数定义域的求法及指数函数值域的求法，是基础题 3 （5 分） （2013 揭阳一模）在四边形 ABCD 中， “ ，且 ”是“四边形 ABCD 是菱形” 的（）A充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 平面向量及应用分析： 根据 ，以及共线向量定理可得 ABCD，且 AB=CD，从而可知在四边形 ABCD 是平行四边形，又由 ，得四边形 ABCD 的对角线互相垂直，因此得到四边形 ABCD 为菱形反之也成立再根据充要条件进行判断即得解答： 解：由 可得四边形 ABCD 是平行四边形，由 得四边形 ABCD 的对角线互相垂直，对角线互相垂直的平行四边形是菱形反之也成立“ ，且 ”是“四边形 ABCD 是菱形”的充要条件故选 C点评： 此题是个基础题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、共线向量定理以及向量在几何中的应用，考查学生利用知识分析解决问题的能力4 （5 分） （2013 泰安一模）当 时，函数 f（x）=Asin（x+） （A0）取得最小值，则函数是（）A奇函数且图象关于点 对称 B 偶函数且图象关于点（，0）对称C 奇函数且图象关于直线 对称 D偶函数且图象关于点 对称考点： 由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式 专题： 计算题分析： 由 f（ ）=sin（ +）= 1 可求得 =2k （k Z） ，从而可求得 y=f（ x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可解答： 解： f（ ）=sin （ +）=1， +=2k ，=2k （ kZ） ， y=f（ x）=Asin（ x+2k ）=Asinx，令 y=g（x）= Asinx，则 g（x）=Asin（ x）=Asinx=g（x） ，y=g（x）是奇函数，可排除 B，D ；其对称轴为 x=k+ ，kZ ，对称中心为（k，0）k Z，可排除 A；令 k=0，x= 为一条对称轴，故选 C点评： 本题考查由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式，求 是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题5 （5 分） （2013 揭阳一模）一简单组合体的三视图及尺寸如图（1）示（单位：cm）则该组合体的体积为 （）A72000cm3 B 64000cm3 C 56000cm3 D44000cm3考点： 由三视图求面积、体积 专题： 计算题分析： 利用三视图复原的几何体以及三视图的数据，求出几何体的体积即可解答： 解：由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，上部长方体三度为：40，20，50；下部长方体三度为：60，40，10；故组合体的体积 V=604010+204050=64000（cm 3） ，故选 B点评： 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，正确判断几何体是特征与形状是解题的关键6 （5 分） （2013 揭阳一模）已知等差数列a n满足，a 10，5a 8=8a13，则前 n 项和 Sn 取最大值时，n 的值为（）A20 B 21 C 22 D23考点： 等差数列的前 n 项和；数列的函数特性 专题： 等差数列与等比数列分析： 由条件可得 ，代入通项公式令其0 可得 ，可得数列an前 21 项都是正数，以后各项都是负数，可得答案解答： 解：设数列的公差为 d，由 5a8=8a13 得 5（a 1+7d）=8（a 1+12d） ，解得 ，由 an=a1+（n 1）d= ，可得 ，所以数列a n前 21 项都是正数，以后各项都是负数，故 Sn 取最大值时，n 的值为 21，故选 B点评： 本题考查等差数列的前 n 项和公式，从数列的项的正负入手是解决问题的关键，属基础题7 （5 分） （2013 揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次 x（0x1）与 y（0 y1） ，则能输出数对（x，y）的概率为（）AB C D考点： 几何概型 专题： 计算题分析： 据程序框图得到事件“能输出数对（x，y） ”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件 A 构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率解答： 解：是几何概型所有的基本事件 =设能输出数对（x，y）为事件 A，则 A=S（）=1S（A）= 01x2dx= =故选 A 点评： 本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率8 （5 分） （2013 揭阳一模）已知方程 在（0，+）有两个不同的解 ，（ ） ，则下面结论正确的是（）ABCD考点： 根的存在性及根的个数判断；两角和与差的正切函数 专题： 计算题分析： 利用 x 的范围化简方程，通过方程的解转化为 函数的图象的交点问题，利用相切求出 的正切值，通过两角和的正切函数求解即可解答： 解： ，要使方程 在（0，+）有两个不同的解，则 y=|sinx|的图象与直线 y=kx（k0）有且仅有三个公共点，所以直线 y=kx 与 y=|sinx|在 内相切，且切于点（，sin ） ，由 ，故选 C点评： 本题考查函数的零点与方程根的关系，直线与曲线相切的转化，两角和的正切函数的应用，考查计算能力二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（9-13 题） （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）9 （5 分） （2013 揭阳一模）计算： =2考点： 对数的运算性质；二倍角的正弦 专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数的运算性质和倍角公式即可得出解答：解：原式= = = =2故答案为 2点评： 熟练掌握对数的运算性质和倍角公式是解题的关键 10 （5 分） （2013 揭阳一模）若二项式 的展开式中，第 4 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6 的系数为9 （用数字作答）考点： 二项式系数的性质 专题： 计算题分析： 由题意可得， ，可求 n，然后写出展开式的通项，令 x 的次方为 6 求出 r，即可求解解答： 解：由题意可得， ，解得 n=9 的展开式的通项为 =令 9 =6，解得 r=2此时的系数为 =9故答案为：9点评： 本题主要考查了二项式系数的性质及二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式11 （5 分） （2013 揭阳一模）x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29y 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量，得到数据（单位均为 cm）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：， ；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为 26.5cm，则估计案发嫌疑人的身高为185.5 cm考点： 线性回归方程 专题： 应用题分析： 根据所给的数据，求得回归方程的斜率 b 的值，代入样本中心点求出 a 的值，得到线性回归方程，把所给的 x 的值代入预报出身高解答：解： 经计算得到一些数据： ， ；回归方程的斜率 ， ，截距 ， 即回归方程为 =7x，当 x=26.5，则估计案发嫌疑人的身高为 185.5 cm故答案为：185.5点评： 本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是正确运算出横标和纵标的平均数，写出线性回归方程，再者注意根据所给的自变量的值和线性回归方程得到的结果是一个预报值，而不是准确值，本题是一个中档题目12 （5 分） （2013 揭阳一模）已知圆 C 经过直线 2xy+2=0 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线 y2=8x 的焦点，则圆 C 的方程为 考点： 抛物线的简单性质；圆的标准方程 专题： 计算题分析： 求出抛物线的焦点坐标，设出圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，把三个点的坐标分别代入即可得到关于 D，E 及 F 的三元一次方程组，求出方程组的解即可得到 D，E 及 F 的值，进而确定出圆的方程解答： 解：抛物线 y2=8x 的焦点为 F（2，0） ，直线 2xy+2=0 与坐标轴的两个交点坐标分别为 A（1，0） ，B（0，2） ，设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0将 A、B、F 三点的坐标代入圆的方程得： ，解得于是所求圆的方程为 x2+y2xy2=0即 （12 分）故答案为： ；点评： 本题考查圆的方程，考查抛物线的简单性质，解题的关键是利用待定系数法求圆的方程，属于中档题 13 （5 分） （2013 揭阳一模）函数 f（x）的定义域为 D，若对任意的 x1、x 2D，当 x1x 2 时，都有f（x 1）f （x 2） ，则称函数 f（x）在 D 上为“ 非减函数”设函数 g（x）在0，1上为“ 非减函数”，且满足以下三个条件：（1）g（0）=0；（2） ；（3）g（1x） =1g（x） ，则 g（1）=1、 = 考点： 函数的值；抽象函数及其应用 专题： 新定义分析： 在（3）中令 x=0 即可得出 g（1） ； 在（2）中令 x=1 得 ，在（3）中令 得 ，再利用函数 g（x）在0，1上为“ 非减函数”即可得出解答： 解：在（3）中令 x=0 得 g（1）=1g（0）=1，g（1）=1；在（2）中令 x=1 得 ，在（3）中令 得 ，故， ， ，故 故答案分别为 1， 点评： 恰当对函数 g（x）的 x 赋值及利用函数 g（x）在0，1 上为“ 非减函数”是解题的关键14 （2013东莞二模） （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C1： 和曲线 C2：，则 C1 上到 C2 的距离等于 的点的个数为 3考点： 直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 专题： 直线与圆分析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线