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第三章 3.3 3.3.3 3.3.4 两条平行直线间的距离A级基础巩固一、选择题1两直线3x4y20与6x8y50的距离等于 (C)A3B7CD解析在3x4y20上取一点(0,),其到6x8y50的距离即为两平行线间的距离,d.2已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(4,3)、C(2,3),则点A到BC边的距离为 (B)ABCD4解析BC边所在直线的方程为,即xy10;则d.3若点A(3,4)、B(6,3)到直线l:axy10的距离相等,则实数a的值为 (C)ABC或D或解析由题意及点到直线的距离公式得,解得a或.4若点P在直线3xy50上,且点P到直线xy10的距离为,则点P的坐标为 (C)A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2,1)D(2,1)或(1,2)解析设点P的坐标为(x0,y0),则有,解得或.5已知点A(1,3)、B(3,1)、C(1,0),则ABC的面积等于 (C)A3B4C5D6解析设AB边上的高为h,则SABC|AB|h.|AB|2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离AB边所在的直线方程为,即xy40.点C到直线xy40的距离为,因此,SABC25.6直线l垂直于直线yx1,且l在y轴上的截距为,则直线l的方程是 (A)Axy0Bxy10Cxy10Dxy0解析方法1:因为直线l与直线yx1垂直,所以设直线l的方程为yxb,又l在y轴上截距为,所以所求直线l的方程为yx,即xy0.方法2:将直线yx1化为一般式xy10,因为直线l垂直于直线yx1,可以设直线l的方程为xyc0,令x0,得yc,又直线l在y轴上截距为,所以c,即c,所以直线l的方程为xy0.二、填空题7已知直线l1:(k3)x(4k)y10与直线l2:2(k3)x2y30平行,则l1与l2间的距离为_或_.解析l1l2,解得k3或k5.当k3时,l1:y1,l2:y,此时l1与l2间的距离为;当k5时,l1:2xy10,l2:4x2y30,此时l1与l2间的距离为.8过点A(3,1)的所有直线中,与原点距离最远的直线方程是_3xy100_.解析当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时,距离最大kOA,所求直线的方程为y13(x3),即3xy100.三、解答题9已知正方形的中心为直线2xy20和xy10的交点,其一边所在直线的方程为x3y50,求其它三边的方程.解析由,解得.即该正方形的中心为(1,0)所求正方形相邻两边方程3xyp0和x3yq0.中心(1,0)到四边距离相等,解得p13,p29和q15,q27,所求方程为3xy30,3xy90,x3y70.10已知三条直线l1:4xy40,l2:mxy0,l3:2x3my40.求m的值,使它分别满足以下条件:(1)l1,l2,l3交于同一点;(2)l1,l2,l3不能围成三角形.解析(1)由4xy40得y4x4代入l2,l3的方程中分别得x1,x2,由,解得m1或,经检验都符合题意(2)首先由(1)知,当m1或时,不能围成三角形;又kl14,kl2m,kl3,若l1l2,则m4;若l1l3,则m;由于kl2与kl3异号,显然l2与l3不平行综上知,m1,或4.B级素养提升一、选择题1P、Q分别为3x4y120与6x8y60上任一点,则|PQ|的最小值为 (C)ABC3D6解析|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离在直线3x4y120上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.2(2016潍坊高一检测)与直线l:3x4y10平行且到直线l的距离为2的直线方程是 (A)A3x4y110或3x4y90B3x4y110C3x4y110或3x4y90D3x4y90解析设所求直线方程为3x4ym0,由题意得2,解得m9或11.3到两条直线l1:3x4y50与l2:5x12y130的距离相等的点P(x,y)必定满足方程 (D)Ax4y40B7x4y0Cx4y40或4x8y90D7x4y0或32x56y650解析结合图形可知,这样的直线应该有两条,恰好是两条相交直线所成角的平分线由公式可得,即,化简得7x4y0或32x56y650.4(20162017山西吕梁汾阳四中期中)已知两直线3xy30与6xmy10平行,则它们之间的距离为 (D)A4BCD解析两直线平行,.m2.两直线方程为6x2y60和6x2y10,其距离d.故选D二、填空题5点P(x,y)在直线xy40上,则x2y2的最小值是_8_.解析x2y2表示直线上的点P(x,y)到原点距离的平方,原点到直线xy40的距离为2,x2y2最小值为8.6已知点A(1,1)、B(2,2),点P在直线yx上,则当|PA|2|PB|2取得最小值时点P的坐标为_(,)_.解析设P(2t,t),则|PA|2|PB|2(2t1)2(t1)2(2t2)2(t2)210t218t1010(t2t1)10(t)2,当t时,|PA|2|PB2|取得最小值,即P(,)C级能力拔高1(20162017嘉兴高一检测)在ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x2y10,A的平分线所在直线的方程为y0,若点B的坐标为(1,2).(1)求直线BC的方程(2)求直线AB的方程解析(1)设ADBC,垂足为D,则kAD,kBC2.BC边所在直线方程为y22(x1)即2xy40.(2)A的平分线所在直线方程为y0,设A(a,0)又点A在直线AD上,a010,a1.A(1,0),直线AB方程为:yx1.即xy10.2已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:xy10与l2:xy10所截得的线段的中点M在直线xy30上求直线l的方程.解析解法一:点M在直线xy30上,设点M坐标为(t,3t),则点M到l1、l2的距离相等,即,解得t,M.又l过点A(2,4),由两点式得,即5xy60,故直线l的方程为5xy60.解法二:设与l1、l2平行且距离相等的直线l3:xyc0,由两平行直线间的距离公式得,解得c0,即l3:xy0.由题意得中点M在l3上,又点M在xy30上解方程组,得.M.又l过点A(2,4),故由两点式得直线l的方程为5xy60.解法三:由题意知直线l的斜率必存在,设l:y4k(x2),由,得.直线l与l1、l2的交点分别为,.M为中点,M.又点M在直线xy30上,30,解得k5.故所求直线l的方程为y45(x2),即5xy60.
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