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2.2.1直线的参数方程1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)教材整理1参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数,并且对于t取的每一个允许值,由方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫作这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫作参变数,简称参数.相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x,y)0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量,但不能是没有实际意义的变数.()(2)参数与变量x,y间存在函数关系.()(3)点M(2,1)在曲线(t为参数)上.()【解析】(1)参数既可以是一个有物理或几何意义的量,也可以是没有实际意义的变数.(2)在参数方程中,参数与x,y存在函数关系.(3)x2时,22t得t1,而y1时t01,故点(2,1)不在曲线上.【答案】(1)(2)(3)教材整理2直线的参数方程1.经过点P(x0,y0),倾斜角是的直线的参数方程为(t为参数).其中M(x,y)为直线上的任意一点,参数t的几何意义是从点P到M的位移,可以用有向线段的数量来表示.2.经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1x2)的直线的参数方程为(为参数,1).其中M(x,y)为直线上的任意一点,参数的几何意义与参数方程中的t显然不同,它所反映的是动点M分有向线段的数量比.当0时,M为内分点;当0时,且1时,M为外分点;当0时,点M与Q重合.填空:(1)过点(0,0)且倾斜角为60的直线的参数方程是_.(2)参数方程(t为参数)表示的直线的倾斜角是_.【解析】(1)即(t为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式,易知倾斜角为20.【答案】(1)(t为参数)(2)20 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 求动点轨迹的参数方程如图221所示,OA是定圆的直径,长2a,直线OB与圆交于M1,和过A点的切线交于点B,MM1OA,MBOA,MM1与MB交于点M,与OA交于点C,以O为原点,OA为x轴的正半轴,求动点M轨迹的参数方程.图221【精彩点拨】引入弦OM1与x轴的夹角为参数,由解三角形知识将动点M(x,y)的坐标x,y分别用角表示,从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】设点M的坐标为M(x,y),弦OM1与x轴的夹角是,取为参数,连结AM1,则有AM1OM1,OC2acos cos 2acos2 ,AB2atan ,(为参数),这就是所求的点M的参数方程.求动点的轨迹方程,是解析几何中常见的题型之一,通常可用解析法寻找变量之间的关系,列出等式,得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时,可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等),使变量x,y之间通过参数联系在一起,从而得到曲线的参数方程.1.过抛物线y24px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA,OB,求AB中点P的轨迹方程.【解】设OA的斜率为k(k0),则解得A点坐标为.由解得B点坐标为(4pk2,4pk).设AB的中点为P(x,y),则(k为参数),消去k得中点P的轨迹方程为y22p(x4p)(p0).求直线的参数方程已知直线l过(3,4),且它的倾斜角120.(1)写出直线l的参数方程;(2)求直线l与直线xy10的交点.【精彩点拨】根据直线过点(3,4),且直线的倾斜角120.代入得该直线的参数方程.然后与xy10联立可求得交点.【自主解答】(1)直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).(2)把代入xy10,得3t4t10,得t0.把t0代入得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时,若已知所过的定点与其倾斜角时,利用(t为参数)求;若已知两个定点,利用(为参数,1)求.2.设直线l过点P(3,3),且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程;(2)设此直线与曲线C:(为参数)交于A,B两点,求|PA|PB|.【解】(1)直线l的参数方程为(t为参数).(2)把曲线C的参数方程中参数消去,得4x2y2160.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中,得422160,即13t24(312)t1160.由t的几何意义,知|PA|PB|t1t2|,故|PA|PB|t1t2|.直线参数方程的应用探究1直线参数方程(为参数)中参数的几何意义怎样理解?【提示】直线参数方程中参数t表示直线上以定点P为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段的数量,当点M在点P上方时,t0;当点M在P的下方时,t0;当点M与P重合时,t0.我们也可以把参数t理解为以P为原点,直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.探究2直线参数方程的形式不同,参数的意义一样吗?直线过点(x0,y0),斜率为时的直线参数方程怎样?【提示】直线参数方程的形式不同,参数t的几何意义也不同,过定点P(x0,y0),斜率为的直线的参数方程是(a,b为常数,t为参数).当a2b21时,参数方程为标准形式,|t|的几何意义是有向线段P的长度;当a2b21时,参数方程的标准形式为其中t具有标准参数方程中参数的几何意义.探究3当直线与圆锥曲线相交时,能否使用直线参数方程求弦长?【提示】在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中,若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题,利用直线参数方程中参数t的几何意义求解,比利用直线l的普通方程来解决更为方便.如图222所示,已知直线l过点P(2,0),斜率为,直线l和抛物线y22x相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求:图222(1)P,M间的距离|PM|;(2)点M的坐标;(3)线段AB的长|AB|.【精彩点拨】先求得直线l的参数方程的标准形式,然后代入抛物线方程,得到关于参数t的一元二次方程,再利用参数t的几何意义,逐个求解.【自主解答】(1)直线l过点P(2,0),斜率为,设直线l的倾斜角为,则tan ,cos ,sin ,直线l的参数方程的标准形式为(t为参数).(*)直线l和抛物线相交,将直线l的参数方程代入抛物线方程y22x中,整理得8t215t500,15248500.设这个二次方程的两个根为t1,t2,由根与系数的关系得t1t2,t1t2.由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,得|PM|.(2)因为中点M所对应的参数为tM,将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*),得即M.(3)|AB|t1t2|.在求直线l与曲线C:f(x,y)0的交点间的距离时,把直线l的参数方程代入f(x,y)0,可以得到一个关于t的方程f(x0tcos ,y0tsin )0.假设该方程的解为t1,t2,对应的直线l与曲线C的交点为A,B,那么由参数t的几何意义可得|AB|t1t2|.(1)弦AB的长|AB|t1t2|.(2)线段AB的中点M对应的参数t(解题时可以作为基本结论使用).3.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角.(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆2相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.【解】(1)直线l的参数方程为即(t是参数).(2)圆2的普通方程为x2y24.把直线代入x2y24,得224.整理得t2(1)t20,点P到A,B的距离之积为|t1|t2|t1t2|2.1.直线(t为参数)的倾斜角等于()A.40B.50C.45D.135【解析】根据tan 1,因此倾斜角为135.【答案】D2.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是() 【导学号:12990021】A.,B.,C.(0,4),(8,0)D.,(8,0)【解析】当x25t0时,解得t,可得y12t,当y12t0时,解得t,可得x25t,曲线与坐标轴的交点坐标为,.【答案】B3.过点P(4,0),倾斜角为的直线的参数方程为_.【解析】直线l过点P(4,0),倾斜角,所以直线的参数方程为即【答案】4.已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点,且圆C与直线xy30相切,则圆C的方程为_.【解析】由得xy10.圆心C(1,0),又圆C与直线xy30相切,r,圆C的方程为(x1)2y22.【答案】(x1)2y225.过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为的直线,它与抛物线交于A,B两点,求这两点的距离.【解】抛物线y24x的焦点为F(1,0),设过焦点F(1,0),倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数),将此代入y24x,得t24t80,设这个方程的两个根分别为t1,t2,由根与系数的关系,有t1t24,t1t28,|AB|t1t2|8.A,B两点间的距离是8.我还有这些不足:(1) (2) 我的课下提升方案:(1) (2)
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