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浙大(高等教育出版社 盛骤 谢式千 潘承毅著)第一章 概率论的基本概念1.一 写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(一 1),n表小班人数(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。(一 2)S=10,11,12,n,(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。(一 (3))S=00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.二 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。(1)A发生,B与C不发生。表示为:或A (AB+AC)或A (BC)(2)A,B都发生,而C不发生。表示为:或ABABC或ABC(3)A,B,C中至少有一个发生表示为:A+B+C(4)A,B,C都发生,表示为:ABC(5)A,B,C都不发生,表示为:或S (A+B+C)或(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。故 表示为:。(7)A,B,C中不多于二个发生。相当于:中至少有一个发生。故 表示为:(8)A,B,C中至少有二个发生。相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为:AB+BC+AC6.三 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少?解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB,(否则AB = 依互斥事件加法定理, P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31与P (AB)1矛盾).从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)(1)从0P(AB)P(A)知,当AB=A,即AB时P(AB)取到最大值,最大值为 P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知,当AB=S时,P(AB)取最小值,最小值为 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 设A,B,C是三事件,且,. 求A,B,C至少有一个发生的概率。解:P (A,B,C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 8.五 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?记A表“能排成上述单词” 从26个任选两个来排列,排法有种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词:55个 9. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,29)记A表“后四个数全不同” 后四个数的排法有104种,每种排法等可能。后四个数全不同的排法有10.六 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A 10人中任选3人为一组:选法有种,且每种选法等可能。又事件A相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有(2)求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有种,且每种选法等可能,又事件B相当于:有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有种11.七 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有种,且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有故12.八 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。(1)求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A 在1500个产品中任取200个,取法有种,每种取法等可能。200个产品恰有90个次品,取法有种(2)至少有2个次品的概率。记:A表“至少有2个次品”B0表“不含有次品”,B1表“只含有一个次品”,同上,200个产品不含次品,取法有种,200个产品含一个次品,取法有种 且B0,B1互不相容。13.九 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对” 从10只中任取4只,取法有种,每种取法等可能。要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。取法有15.十一 将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能对A1:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法432种。 (选排列:好比3个球在4个位置做排列)对A2:必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。放法有种。(从3个球中选2个球,选法有,再将此两个球放入一个杯中,选法有4种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种。对A3:必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种)16.十二 50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一:用古典概率作:把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序)对E:铆法有种,每种装法等可能对A:三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有10种法二:用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。(铆钉要计先后次序)对E:铆法有种,每种铆法等可能对A:三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,或“28,29,30”位置上。这种铆法有种17.十三 已知。解一: 注意. 故有P (AB)=P (A)P (A)=0.70.5=0.2。再由加法定理,P (A)= P (A)+ P ()P (A)=0.7+0.60.5=0.8于是18.十四 。解:由由乘法公式,得由加法公式,得19.十五 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。解:(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求事件A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x, y)(x, y=1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果(x, y)等可能。A=掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。故方法二:(用公式S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A=“掷两颗骰子,x, y中有一个为“1”点”,B=“掷两颗骰子,x,+y=7”。则,故20.十六 据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P(A)=P孩子得病=0.6,P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5,P (C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解:所求概率为P (AB)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.21.十七 已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。(1)二只都是正品(记为事件A)法一:用组合做 在10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种取法等可能。法二:用排列做 在10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个排列等可能。法三:用事件的运算和概率计算法则来作。记A1,A2分别表第一、二次取得正品。(2)二只都是次品(记为事件B)法一:法二:法三:(3)一只是正品,一只是次品(记为事件C)法一:法二:法三: (4)第二次取出的是次品(记为事件D)法一:因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作,法二:法三: 22.十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H再发生的概率。 24.十九 设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?(此为第三版19题(1))记A1,A2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B且A1,A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =十九(2) 第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。 C3为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”,D为“从第二盒子中取得白球”,显然C1,C2,C3两两互斥,C1C2C3=S,由全概率公式,有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 26.二十一 已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
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