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湖南省师大附中届高三第次月考数学文试题 作者: 日期:11 湖南师大附中2013届高三月考试卷(六)数学(文科)命题:湖南师大附中高三数学备课组 (考试范围:高中文科数学全部内容)一选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合(i为虚数单位),则(C)A. B. C. D. 解析:,选C.2.设命题p: ,命题q:函数有零点,则p是q的 (A)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析:函数有零点,则,即或,显然,P可以推出q,而q不能推出P,故选A.3.曲线在处的切线的斜率是 (A)A. B. C. D解析:,即切线的斜率为,选A.4.若,则的值为 (B)A. B. C. D. 解析:,选B.5.若是等差数列的前n项和,且,则 (C)A.12 B.18 C.22 D.44解析:,即, ,故选C.6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积为 (D)045xyA. B. C. D. 解析:原图形是上底为1,下底为,高为2的直角梯形. .选D.xy0B (5,1)C(4,2)A (1,1)7.已知点的可行域是如图阴影部分(含边界),若目标函数取得最小值的最优解有无数个,则a的取值为 ()A. B.0C.6 D.8解析:当时,的最小值在点B处取得,故舍去;当时,有,当时, 只在点A处取得最小值,故舍去;当时,若时,目标函数在线段AC上的所有点处都取得最小值,选C.8.如图所示,A、B、C是圆O上的三点,线段CO的延长线与线ODCBA段BA的延长线交于圆O外的一点D,若,则的取值范围是 (D)A. B. C. D. 解析:线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,则,D在圆外,又D、A、B共线,故存在,使得,且,又,.,.选D.9在计算机语言中有一种函数y=int(x)叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示不超过x的最大整数,如int(0.9)=0,int(3.14)=3,已知令令当n1时,则当n1时,则 ( D ) A. 2009 B. 1 C. 2010 D. 2解析:由题意可知,地对应情况如下表:n123456789114142142814285142857142857114285714142857142142857142观察上表可知:是一个周期为6的周期函数,所以故选D.二填空题:本大题共7个小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上(一)选做题:从下列两题中任意选做一题,若两题全做,则只按第9题记分10.在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线与曲线(t为参数)相交于A、B两点,则线段AB的中点的直角坐标为解析:记,将转化为直角坐标方程为,曲线为,联立上述两个方程得,故,线段AB的中点坐标为.11.(优选法与试验设计初步)用法寻找实验的最优加入量时,若当前存优范围是,好点是718,则此时要做试验的加入点值是 684 .解析:此时要做实验的加入点的值是.(二)必做题(1116题)12.在区间内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数有零点的概率为解析:若使函数有零点,必须满足,即,于是函数有零点的概率为.13.由“半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为2R2”,类比猜想关于球的相应命题为: _解析:半径为R的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为 14. 直线l过抛物线 的焦点F,且交抛物线于P、Q两点,由P、Q分别向准线引垂线PR、QS,垂足分别为R、S,如果|PF|=a,|QF|=b,M为RS的中点,则|MF|= _解析: 易证明故15.在中,已知,角B的平分线BD交AC于点D,且,则解析:,在中,又,.16. 设函数其中为常数若函数存在最小值的充要条件是则(1)集合;(2)当时,函数的最小值为_.解析:(1) 当时,当时,要使有最小值,需满足即时,存在最小值.(2) 当时,(2)取得最小值.三、解答题:本大题共6个小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)汽车是碳排放量比较大的行业之一欧盟规定,从2012年开始,将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚(视为排放量超标)某检测单位对甲、乙两M1型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测,记录如下(单位:g/km)经测算发现,乙品牌CO2排放量的平均值为X乙=120g/km(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆,则CO2排放量都不超标的概率是多少?(2)若80x130,试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性解析:(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆,共有10种不同的CO2排放量结果:(80,110);(80,120);(80,140);(80,150);(110,120);(110,140);(110,150);(120,140);(120,150);(140,150),3分设“CO2排放量都不超标”为事件A,则事件A包含以下3种不同的结果:(80,110);(80,120);(110,120); 6分(2)由题可知,8分当时,;当时,;当时, 又当时,甲类品牌车碳排放量的稳定性好; 当时,两类品牌车碳排放量的稳定性一样好; 当时,乙类品牌车碳排放量的稳定性好.12分B1A1C1BBA18如图,斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是直角三角形,ACB=90,点B1在底面内的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=2(I)求证:平面ACC1A1 平面BCC1B1;()若A1A=2,求点B到平面B1CA的距离解析:(1)取BC中点M,连接B1M,则B1M面ABC, 面BB1C1C面ABC BC=面BB1C1C面ABC,ACBC AC面BB1C1C AC面ACC1A1 面ACC1A1面BB1C1C 6分 (2)设点B到平面B1CA的距离为h,由 有, 12分19.已知数列的首项,(1)若,求证是等比数列并求出的通项公式; (2)若对一切都成立,求的取值范围.解析:(1) 由题意知, , 3分所以数列是首项为,公比为的等比数列; 4分 , 6分(2)由(1)知, 8分由知,故得 10分即得,又,则 12分20在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作MA)的变化情况来决定买入或卖出股票股民老王在研究股票的走势图时,发现一只股票的MA均线近期走得很有特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy,则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线对称老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里DE段与ABC段关于直线对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F现在老王决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定解析式中的常数(1)请你帮老王算出,并回答股价什么时候见顶(即求F点的横坐标);(2)老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股,到见顶处F点的价格全部卖出,不计其它费用,这次操作他能赚多少元?解:(1)C,D关于直线对称C点坐标为(234-44,16),即(24,16),2分把A、B、C的坐标代入解析式,得,整理得 又 6分将代入1)得7分于是,段的解析式为 8分由对称性得,段的解析式为所以,由,得 10分所以当时,股票见顶. 11分(2)由(1)可知,故这次操作老王能赚5000(25-16)=45000元 13分21.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于、两点,且直线与轴交于点.(1)求证:,成等比数列;(2)设,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.解析:(1)设直线的方程为:联立方程得 设, 则 2分 4分 5分 所以 即,成等比数列6分 (2)由,得,即得:则 10分 将代入得,故为定值且定值为12分22.已知函数(1)时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,若在区间上的最大值为-1,求的取值;(3)若对任意,且恒成立,求的取值范围。解析:(1)当时,曲线在点处的切线方程为:.(2)函数的导函数为,令得,所以
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