年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析(李飞) 作者： 日期：21 2012年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析一、命题热点:概率与统计1、某电视台你举办“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有两道不同的必答题，“创新关”中有三道不同的必答题；如果“常识关”中的两道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的三道题至少有两道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励.现某团队中甲冲击“常识关”；乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中的每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中的每道题正确的概率都为，两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立.（1）求此冲关团队在这5必答题中只有2道题回答正确且没有获得任何奖励的概率；（2）记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量，求的分布列和数学期望.2、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比赛活动中，每人射击两发颗子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”.（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2012年每月进行一次检测，设这12次检测中该小组获得先进和谐组”的次数为，如果求的取值范围.3、某单位实行休年假制度三年以来，对50名职工休年假的次数进行调查统计，结果如下表所示：休假次数0123人数5102015根据上表信息回答以下问题：(1)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间上有且只有一个零点为事件A”，求事件A的概率;(2) 从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差德的绝对值，求的分布列和数学期望. 二、命题热点:立体几何与空间向量预测1.正的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论解：法一：（I）如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF/AB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF （II）ADCD，BDCD，ADB是二面角ACDB的平面角，ADBD，AD平面BCD，取CD的中点M，这时EMAD，EM平面BCD，过M作MNDF于点N，连结EN，则ENDF，MNE是二面角EDFC的平面角.在RtEMN中，EM=1，MN=，tanMNE=，cosMNE=.（）在线段BC上存在点P，使APDE，证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQCD与点Q，PQ平面ACD 在等边ADE中，DAQ=30AQDEAPDE.法二：（）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，则 即，所以二面角EDFC的余弦值为；（）设，又，把，所以在线段BC上存在点P使APDE.预测2. 如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分 （14分）预测3. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形()求此几何体的体积；()求异面直线与所成角的余弦值；()探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由解：（）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，此几何体的体积为； 5分 解法一：（）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，；即异面直线与所成角的余弦值为。9分（）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；连接、，在和中，以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；，； 14分解法二：（）同上。（）以为原点，以、所在直线为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，得，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。（）设存在满足题设的点，其坐标为，则， ；点在上，存在使得，即，化简得， ，代入得，得，；满足题设的点存在，其坐标为。三、命题热点:数列与不等式预测1. 过点作曲线的切线，切点为，过作轴的垂线交 轴于点，又过作曲线C的，切点为，过作轴的垂线交轴于点，依次下去得到一系列点，设点的横坐标为（1）求数列的通项公式；（2）求和；（3）求证：解：（1），若切点是，则切线方程为 1分当时，切线过点，即：，依题意所以 2分当时，切线过点，即：，依题意，所以 3分所以数列是首项为,公比为的等比数列所以 4分（2）记，因为，所以 5分两式相减，得： 7分 9分（3）证法1： 14分法2：当时，10分 假设时，结论成立，即，则来源:Z,xx,k.Com 即时,13分综上，对都成立 14分四、命题热点:函数与导数预测1. 已知函数（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）如果函数，在公共定义域D上，满足，那么就称为为的“活动函数”已知函数，若在区间上，函数是，的“活动函数”，求的取值范围；当时，求证：在区间上，函数，的“活动函数”有无穷多个解：（1）当时，；对于1, e，有，在区间1, e上为增函数， 3 分（2）在区间（1，+）上，函数是的“活动函数”，则令0，对（1，+）恒成立，且h（x）=f1（x） f（x）=0对（1，+）恒成立， 5分 （*） 1）若，令，得极值点，当，即时，在（，+）上有，此时在区间（，+）上是增函数，并且在该区间上有（，+），不合题意；当，即时，同理可知，在区间（1，+）上，有（，+），也不合题意； 7分2） 若，则有，此时在区间（1，+）上恒有，从而在区间（1，+）上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，所以a 9分又因为h/（x）= x+2a= 0, h（x）在（1, +）上为减函数，h（x）h（1）= +2a0， 所以a综合可知的范围是, 12分另解：（接在（*）号后）先考虑h（x）,h（x） = x + 2a =,h（x）在（1,+）递减，只要h（1） 0, 得，解得 8分而p（x）=对x（1,+） 且有p（x） 0，y=f2（x） f1（x）在 （1，+）为增函数，所以f2（x） f1（x） f2（1） f1（1）= 设R（x）=f1（x）+（01）, 则 f1（x）R（x）f2（x）, 所以在区间（1，+）上，函数的“活动函数”有无穷多个其他如R（x）=f1（x）+f2（x）（ 0,1,且+=1）等也可以预测2. 已知函数（常数）的图像过点、两点.（1）求的解析式；（2）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，若不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）若是函数图像上的点列，是正半轴上的点列，为坐标原点，是一系列正三角形，记它们的边长是，探求数列的通项公式，并说明理由.【解析】（1） 3分（2） 原问题等价于在恒成立 6分利用函数在区间上为增函数可得 8分（3）由 9分由 将代人，由此原问题转化为已知且，求 11分又，两式相减可得：又，因为，所以 从而是以为首项，为公差的等差数列，即 13分预测3. 如图5，过曲线上一点作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，以此类推，过点的切线与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N） (1) 求、及数列的通项公式； (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：.(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， 2分